INTEGRAL DEFINIDA APLICAÇÕES Aula 05 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Variação Total Em certas aplicações práticas, conhecemos a taxa de variação 𝑄’(𝑥) de uma grandeza 𝑄(𝑥) e estamos interessados em calcular a variação total 𝑄(𝑏)− 𝑄(𝑎) de 𝑄(𝑥) quando 𝑥 varia de 𝑥 = 𝑎 até 𝑥 = 𝑏. Fizemos isto anteriormente resolvendo problemas de valor inicial. Entretanto, como 𝑄(𝑥) é uma antiderivada de 𝑄’(𝑥), o teorema fundamental do cálculo permite calcular a variação total usando a seguinte fórmula de integração definida:

Variação Total Se Q’(x) é contínua no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, a variação total de Q(x) quando x varia de x = a até x = b é dada por 𝑄 𝑏 −𝑄 𝑎 = 𝑎 𝑏 𝑄 ′ 𝑥 𝑑𝑥

Exemplo 01) Em uma fábrica, o custo marginal é 3(𝑞−4)² reais por unidade quando o nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação quando o nível de produção aumenta de 6 para 10 unidades? C 10 −C 6 = 6 10 3 𝑞−4 2 𝑑𝑞

Captaram?

02) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se decompõe em aminoácidos a uma taxa dada por 𝑑𝑚 𝑑𝑡 = −30 (𝑡+3)² 𝑔/ℎ Qual é a variação da massa da amostra de proteína durante as primeiras 2 horas?

ÁREA ENTRE CURVAS

Como vimos, uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de uma soma conhecida como integral definida e calculada com o auxílio do teorema fundamental do cálculo. Esse processo recebe o nome de integração definida, e foi apresentado a partir do cálculo das áreas porque as áreas são fáceis de visualizar, mas existem outros problemas práticos, que podem ser resolvidos com o auxílio da integração definida.

Aplicação da Integral definida A integração pode ser imaginada como o processo de “acumular” um número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total da grandeza. Vejamos o processo para usar integração definida em problemas práticos. Para “acumular” uma grandeza Q em um intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏 através da integração definida, faça o seguinte: Step by step

𝑄= lim 𝑥→ +∞ [𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 ∆𝑥= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Divida o intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏 em 𝑛 subintervalos iguais de largura ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛 . Escolha um número 𝑥 𝑗 no subintervalo para j = 1, 2, ..., n. Aproxime a contribuição do intervalo 𝑗 para o valor total da grandeza 𝑄 pelo produto 𝑓 𝑥 𝑗 ∆𝑥, onde f(x) é uma função apropriada que seja contínua no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏 . Some todos os produtos para estimar o valor total da grandeza Q através da soma de Riemann [𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 )∆𝑥 Torne exata a aproximação do 3º passo calculando o limite da soma de Riemann quando 𝑛→ ∞ para expressar Q na forma de uma integral definida: 𝑄= lim 𝑥→ +∞ [𝑓 𝑥 1 +𝑓 𝑥 2 +…+𝑓 𝑥 𝑛 ∆𝑥= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Use o teorema fundamental do cálculo para calcular 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 e assim obter o valor desejado de Q.

Área entre duas curvas Em certos problemas práticos, pode ser necessário representar a grandeza de interesse na forma de área entre duas curvas.

Inicialmente, vamos supor que f e g sejam funções contínuas, não-negativas [ou seja, 𝑓(𝑥)≥0 e 𝑔(𝑥)≥0] e satisfazem a desigualdade 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏. Chamando a área de f(x) de R1, a área de g(x) de R2 e R a área entre as duas curvas, temos: R = R1 – R2 a b

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅= á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦=𝑓 𝑥 − á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦=𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Nesse caso, para determinar a área da região R entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, simplesmente subtraímos a área sob a curva de baixo y = g(x) da área sob a curva de cima y = f(x) . Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅= á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦=𝑓 𝑥 − á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦=𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Essa expressão é válida se 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) no intervalo 𝑎≤𝑥≤𝑏, mesmo que as curvas y = f(x) e y = g(x) não estejam acima do eixo dos x para todos os valores de x.

Área entre duas curvas Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥) no intervalo 𝑎≤ 𝑥≤𝑏, a área A entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada por: 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Obter os pontos de interseção Exemplo 01) Determine a área da região R limitada pelas curvas y = x³ e y = x². 1º passo Obter os pontos de interseção x³=x²

02) Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva 𝑦 = 𝑥³+3𝑥² 1º passo 4𝑥 = 𝑥³+3𝑥²

Exercícios: 01) Determine a área da região sombreada em cada gráfico:

Exercícios Nos problemas abaixo, indique a região R dada e determine sua área: R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e y = 1. R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = -x²+4x-3 R é a região limitada pelas curvas y = x³-3x² e y = x²+5x. R é o triângulo cujos vértices são os pontos (-4, 0), (2, 0) e (2, 6).

Gráficos

02) A figura mostra uma casa de campo situada à beira de um lago 02) A figura mostra uma casa de campo situada à beira de um lago. Quando um sistema de coordenadas é traçado da forma indicada, a margem do lago pode ser descrita aproximadamente por um arco da curva 𝑦= 10 𝑒 0,04𝑥 . Supondo que a casa custe R$ 2.000,00 o metro quadrado e o terreno do lado de fora da casa (a região sombreada da figura) custe R$ 800,00 o metro quadrado, qual o valor da propriedade? Casa