Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com Aula 17 Séries de Potências e Representações de Funções

Série de Potências Uma série de potências é uma série da forma onde é uma variável e são constantes chamadas coeficientes da série.

Observação Para cada fixado, a série de potências é uma série de constantes que podemos testar quanto a convergência ou divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de e divergir para outros valores de .

Observação A soma da série é uma função cujo domínio é o conjunto de todos os para os quais a série converge. Note que se assemelha a um polinômio. A única diferença é que tem infinitos termos.

Observação Se tomarmos , a série de potências se torna a série geométrica que converge quando e diverge quando .

Série de Potências em (x-a) A série da forma é denominada série de potências em ou série de potências centrada em ou série de potências em torno de .

Observação Adotamos a convenção de que mesmo quando Note também que, quando , todos os termos são 0 para e assim a série de potências sempre converge.

Exemplo 1 Para que valores de a série é convergente? Solução: Usando o teste da Razão para temos

Exemplo 2 Para quais valores a série converge? Solução: Seja Então,

Teste de Comparação no Limite Exemplo 2 Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente, e portanto convergente quando e é divergente quando Note que, de modo que a série converge quando e diverge quando ou

Observação O Teste da Razão não fornece informação quando ; assim, devemos Considerar e separadamente. Para a série se tornará a série harmônica que é divergente. Para a série é que converge pelo teste da série alternada. Então a série dada converge para

Exemplo 3 Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por Solução: Seja Então,

Exemplo 4 Então, pelo Teste da Razão, a série converge para todos os valores de

Teorema Seja uma série de potências. Existem apenas três possibilidades: A série converge apenas quando A série converge para todo Existe um número positivo tal que a série converge se e diverge se

Raio de Convergência Em (iii) é chamado raio de convergência da série de potências. Por convenção, o raio de convergência é: no caso (i); no caso (ii).

Intervalo de Convergência No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto; No caso (ii) o intervalo é No caso (iii) existem quatro possibilidades:

Resumo Série Série geométrica Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Raio de convergência Intervalo de convergência Série geométrica Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3

Exemplo 4 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série Solução: Seja Então,

Exemplo 4

Exemplo 4 Pelo Teste da Razão, a série dada converge se e diverge se Isso significa que o raio de convergência é A série converge em . Se

Exemplo 4 Se converge pelo Teste da série alternada. Logo, o intervalo de convergência da série é

Exemplo 5 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série Solução: Se então,

Exemplo 5 Assim a série converge se e diverge se Então, o raio de convergência é

Exemplo 5 Para

Representações de Funções

Exemplo 1 Expresse como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência. Solução: Trocando por em , temos

Exemplo 1 Como essa é uma série geométrica, ela converge quando isto é, ou Logo, o intervalo de convergência é (-1,1).

Exemplo 2 Encontre uma representação em série de potências para Solução: Note que

Exemplo 2 A série converge quando isto é, Logo, o intervalo de convergência é (-2,2).

Exemplo 3 Encontre uma representação em série de potências para Solução: Note que

Exemplo 3 Outra maneira de escrever essa série é a Seguinte: Como no Exemplo 2, o intervalo de convergência é (-2,2).

Derivação e Integração de Séries de Potências Teorema. Se tiver raio de convergência então definida por é diferenciável em e

Observação As equações (i) e (ii) podem ser reescritas na forma

Exemplo 4 Função de Bessel

Exemplo 5 Expresse como uma série de potências pela derivaçao de . Qual o raio de convergência? Solução: Derivando cada lado da equação: obtemos

Exemplo 5 Podemos trocar por e escrever a resposta como

Exemplo 6 Encontre uma representação em série de potências para e seu o raio de convergência? Solução: Integrando ambos lados de temos:

Exemplo 6 Para achar o valor de , colocamos na equação anterior e obtemos Então e

Observação Note que quando colocamos , como vemos que

Exemplo 7 Encontre uma representação em série de potências para Solução: Note que logo

Exemplo 7 Para achar o valor de , colocamos na equação anterior e obtemos Portanto,

Exemplo 8 Calcule Use a parte (a) para aproximar com precisão de Solução: (a)

Exemplo 8 Integrando termo a termo:

Exemplo 8 (b) Ao aplicar o T.F.C. podemos considerar

Exemplo 8 Se pararmos de somar depois do termo com o erro é menor que o termo com Assim, temos,

Obrigado !