Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos. 3. 1. Introdução. 3. 2 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 3.1. Introdução 3.2. Função de Transferência e de Resposta Impulsiva 3.3. Sistemas de Controle Automático Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Introdução Modelagem e Análise de Características Dinâmicas de Sistemas Conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema Vários modelos podem ser construídos para um determinado sistema A dinâmica de muitos sistemas é representada por meio de equações diferenciais obtidas através de leis físicas (Newton ou Kirchhoff, p. exemplo). Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Sistemas Lineares Variante no Tempo

Simplicidade versus Precisão Parcimônia. Deve-se conciliar a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise Para a obtenção de um modelo matemático linear, as vezes torna-se necessário desprezar certas não linearidades e parâmetros distribuídos (desde que isto cause pequenos impactos na precisão dos resulados) Geralmente, constrói-se um modelo simplificado que leva à uma percepção geral do sistema e, em seguida, são introduzidas sofisticações na modelagem.

Função de Transferência Relação entre a transformada de Laplace da saída (função resposta – response function) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação – driving function) Sistema de Ordem n

Comentários sobre a Função de Transferência É um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada Representa uma propriedade do sistema, independente da magnitude ou natureza da função de entrada ou excitação Inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada e saída, mas não fornece nenhuma informação em relação a natureza física do sistema Se a FT for conhecida, possibilita o estudo de várias possibilidades de entrada Se a FT não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente, através de entradas conhecidas e observação das respectivas respostas.

Exemplo 3.1. (1) Variável de Controle

Exemplo 3.1. (2) Escrever a equação diferencial do sistema. Aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, supondo nulas as condições iniciais. Estabelecer a relação entre a entrada e saída em função de s. Essa relação é a Função de Transferência.

Quantidades Análogas TRANSLAÇÃO ROTAÇÃO Massa (m) Momento de Inércia (J) Velocidade Linear (v) Velocidade Angular (w) Quantidade de Movimento Linear (p) Quantidade de Movimento Linear (L) Força (F) Torque (t) Aceleração Linear (a) Aceleração Angular (a) Energia Cinética Energia na Rotação

Exemplo 3.1. (3)

Integral de Convolução Transformada de Laplace da Saída Transformada de Laplace da Entrada

Função de Resposta Impulsiva Função de Resposa Impulsiva ou Função Característica do Sistema

Sistema de Controle Automático Um sistema de controle tem vários componentes. Para mostrar as funcões que sao executadas por cada um desses componentes normalmente utilizamos um diagrama chamado de diagrama de blocos. Serão discutidos os aspectos introdutórios aos sistemas de controle automaticó, incluindo várias ações de controle. Será apresenta um método para a obtenção do diagrama de blocos para um sistema físico Serão discutidas técnicas para a simplificação desses diagramas.

Diagrama de Blocos(1) É uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles. Descrevem o inter-relacionamento que existe entre os vários componentes. Tem a vantagem de indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real. Todas as variáveis do sistema são ligadas umas as outras por meio de blocos funcionais. A função de transferência dos componentes é normalmente incluída nos blocos correspondentes, os quais estão conectados por setas que indicam a direção do fluxo de sinais. O sinal pode passar somente no sentido indicado pelas setas. A operação funcional do sistema pode ser visualizada mais facilmente pelo exame do diagrama de blocos do que pelo exame do próprio sistema físico.

Diagrama de Blocos (2) Um diagrama de blocos contem informações relativas ao comportamento dinâmico, mas não inclui nenhuma informação sobre a construção física do sistema. Em um diagrama de blocos, a fonte principal de energia não é mostrada explicitamente O diagrama de blocos de um dado sistema não é único. Diferentes diagramas de blocos podem ser desenhados para um dado sistema, dependendo do ponto de vista da análise que se quer fazer.

Somador

Ponto de Ramificação

Diagrama de Blocos de um Sistema Malha Fechada

Elemento de Realimentação

Função de Transferência de Malha Aberta

Função de Transferência do Ramo Direto

Função de Transferência de Malha Fechada

Obtendo Funções de Transferência em Cascata, Paralelo e com Realimentação com o Matlab

Programa 3.1. em MATLAB (1)

Programa 3.1. em MATLAB (2)

Programa 3.1. em MATLAB (3)

Controladores Automáticos Ação de Controle

Sistema de Controle Industrial

Classificação dos Controladores Industriais Controladores de duas posições ou on-off Controladores Proporcionais Controladores Integrais Controladores Proporcional-Integrais Controladores Proporcional-Derivativos Controladores Proporcional-Integral-Derivativos

Ação de Controle de Duas Posições ou On-Off

Sistema de Controle de Nível de Líquido (1)

Sistema de Controle de Nível de Líquido (2)

Ação de Controle Proporcional

Ação de Controle Integral

Ação de Controle Proporcional-Integral

Ação de Controle Proporcional-Derivativo

Ação de Controle Proporcional-Integral-Derivativo

Sistema de Malha Fechada Sujeito a um Distúrbio(1)

Sistema de Malha Fechada Sujeito a um Distúrbio(2) – Efeito do Distúrbio

Sistema de Malha Fechada Sujeito a um Distúrbio(3) – Efeito da Entrada

Sistema de Malha Fechada Sujeito a um Distúrbio(4)

Procedimentos para Construir um Diagrama de Blocos 1 2 3 4

Exemplo: Circuito RC(1) 2 3

Exemplo: Circuito RC(2) 4

Redução do Diagrama de Blocos (1)

Redução do Diagrama de Blocos (2)

Elementos Básicos do Diagrama de Blocos

Blocos em Cascata

Blocos em Paralelo

Forma Canônica de Realimentação

Mover um Bloco para Trás de um Ponto de Derivação

Mover um Bloco para Frente do Ponto de Derivação

Mover um Bloco para Trás de um Ponto de Soma

Mover um Bloco para Frente de um Ponto de Soma

Exemplo 3.2. (a)

Exemplo 3.2. (b)

Exemplo 3.2. (c)

Exemplo 3.2. (d)

Exemplo 3.2. (e)