Introdução A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente à navegação e à astronomia. A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres, distancia entre rios.

Introdução Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia (190 aC – 125 aC). Este astrônomo utilizou a matemática aplicada para prever eclipses e movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e propiciando mais segurança à navegação. Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria por ter sistematizado algumas relações no triangulo retângulo.

Introdução A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico na acústica: o som segue uma função seno.

Introdução A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas. na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros. na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Conceitos iniciais:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. Agora, calcule as seguintes razões: Por que deu igual o de todo mundo?

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito. Vale lembrar: Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor. Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico. São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.

H CO CA Voltemos à atividade 1...

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. Agora, calcule as seguintes razões:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: Ou seja: Podemos concluir que: Seno de 50 ̊ = 0,766 sen(50 ̊) = 0,766 H CO Coseno de 50 ̊ = 0,642 cos(50 ̊) = 0,642 CA Tangente de 50 ̊ = 1,119 tg(50 ̊) = 1,119

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulo menores que 90 ̊, já são conhecidos e estão tabelados. Observe ao lado:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 2: O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma árvore é de 60 ̊. Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da arvore ao topo da encosta? Da tabela: cos(60 ̊) = 0,5 Qual relação vamos utilizar? COSSENO

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 3: A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir. Da tabela: tg (4 ̊) = 0,07 Qual relação vamos utilizar? TANGENTE

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 4: Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo de 70 ̊. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada poderá alcançar? Da tabela: sen(70 ̊) = 0,939 Qual relação vamos utilizar? SENO

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Como saber qual relação usar??? Depende dos dados do seu problema... Se as variáveis a serem relacionadas são: Cateto Oposto e Hipotenusa -> Seno Cateto Adjacente e Hipotenusa -> Cosseno Cateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente SOH CAH TOA

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Exercícios: Página 71: E 33, 34, 43

Objetivo: Determinar a altura de objetos do modo indireto, utilizando as funções trigonométricas

Razões trigonométricas no triângulo retângulo O teodolito é um instrumento ótico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usando cálculos de triangulação. Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou não uma bússola incorporada.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Construindo um teodolito: Materiais necessários: Copo plástico com tampa de encaixe. Cópia de transferidor circular Quadrado de papelão Pedaço de arame fino ( 15 cm) Conudinho do Mc Donal`s

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Construindo um teodolito: Como construir Cubra o quadrado do papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado. 2. Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Construindo um teodolito: Como construir 3. Passe o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas, atinjam as extremidades do transferidor. 4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame. 5. Encaixe o copo na tampa.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Utilizando o um teodolito:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Vamos então fazer um experimento? Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da tabela da cesta da basquete. Procedimento: Primeiro deve-se marcar no chão a linha perpendicular que contém a tabela. Deste ponto em diante, usar a trena para marcar as distâncias de 5m, 10m, 20m, 30m para serem referência de marcação.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Os dados obtidos serão registrados em uma tabela: Distancia do observador ao objeto Medida do ângulo de visada Altura do Observador Altura do objeto 5m 10m

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas estudadas. Observe a primeira:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo Segunda relação: c b a Pelo Teorema de Pitágoras: Substituindo, obtemos:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos. EXERCÍCIOS: Página 61 – E14, 15