Teorema do Confronto   Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando , então f também terá esse limite.

Teorema – Teorema do Confronto   Suponha que para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que Então

Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto (a) Uma vez que para qualquer , temos que:

(b) Uma vez que para qualquer , temos que ou

Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais.   Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.

Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda.   Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos

Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos

Para a função na figura, temos: Exemplo: Para a função na figura, temos:   e

Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral   Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais: e

Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura Em x = 0: e não existem. A função não é definida à esquerda de x = 0.

Em x = 1: ainda que f(1) = 1, não existe. Os limites à direita e à esquerda não são iguais. Em x = 2: ainda que f(2) = 2

f(3) = 2 Em x = 3: Em x = 4: ainda que f(4) 1 e não existem. A função não é definida à direita de x = 4. Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).

Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais Mostre que não tem nenhum limite lateral quando x se aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo). Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce sem limitação e os valores de repetem-se ciclicamente de de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0.

Limites Envolvendo Teorema 6 ( em radianos)

Prova O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1. Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que (Figura abaixo). Observe que: Área área do setor área

Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira: Área do setor Área Logo,

A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo número positivo (1/2) : Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida: Uma vez que do Teorema do Confronto resulta

Tenhamos em mente que e são ambos funções ímpares. Então, é uma função par, com um gráfico simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limite à esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita: Então pelo Teorema 4.

Exemplo 10: Usando Mostre que Agora a equação (1) se aplica a = 2x.

Limites Envolvendo o Infinito Definições Limites com Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e escrevemos: se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. 2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos: se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x) fica cada vez mais próximo de L.

Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando Demonstre que (a) (b) Solução: Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo quanto para o negativo. (b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.

Teorema 7 – Regras para Limites quando Se L, M e k são números reais e e então 1. Regra da Soma: 2. Regra da Subtração: 3. Regra do Produto:

4. Regra da Multiplicação por Constante: 5. Regra do Quociente: 6. Regra da Potenciação: Se r e s são inteiros, , então Desde que seja um número real.

Exemplo 2 – Usando o Teorema 7 Regra da Soma Limites Conhecidos (b) Regra do Produto Limites Conhecidos

Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau Divida o numerador e o denominador por x2.

Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador Divida o numerador e o denominador por x. O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a 7, então a razão .

Limites Fundamentais Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo e . Proposição 1: (Como já vimos) Proposição 2: Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... .

Exemplo Provar que Em primeiro lugar provaremos que De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo, Da mesma forma, prova-se que Portanto,

Proposição 3: (Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.) Exemplos Temos,

Exemplo 2 Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a Proposição 3.

Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos . Portanto,

Continuidade Definição – Continuidade em um Ponto Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c de seu domínio quando: Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando: ou respectivamente

Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio é contínua em todos os pontos de seu domínio, , inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2 quando f é contínua à esquerda. Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0, mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresenta descontinuidade de salto em x = 0.

Teste de Continuidade Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer às três condições seguintes: 1. f(c) existe (c está no domínio de f) 2. existe (f tem um limite quando ) 3. (o limite é igual ao valor da função)

Teorema – Propriedades de Funções Contínuas Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c. 1. Somas: f + g 2. Diferenças: f - g 3. Produtos: f . g 4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k 5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0

Teorema – Composta de Funções Contínuas Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta é contínua em c.