ME623A Planejamento e Pesquisa

4. Experimentos em Blocos Blocos Completos Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Blocos Balanceados Incompletos Delineamento Cruzados

Planejamento em Quadrado Latino Tipo de experimento muito eficiente que utiliza apenas N=a2 observações e permite blocagem em duas direções Mas e quando existir três fatores de perturbação? Coluna Linha 1 2 3 4 A B C D

Planejamento em Quadrado Greco-Latino Imagine um Quadrado Latino a x a sobreposto a um segundo Quadrado Latino a x a cujos níveis sejam referenciados por letras gregas Considere ainda que cada combinação de letra latina e grega acontece uma única vez nesta sobreposição Neste caso, os dois quadrados latinos são ortogonais entre si, e o planejamento obtido é conhecido como Quadrado Greco-Latino

Planejamento em Quadrado Greco-Latino Coluna Linha 1 2 3 4 A B C D Coluna Linha 1 2 3 4 α β γ δ Coluna Linha 1 2 3 4 Aα Bβ Cγ Dδ Bδ Aγ Dβ Cα Cβ Dα Aδ Bγ Dγ Cδ Bα Aβ Quadrado Greco-Latino

Quadrados Greco-Latinos Esse tipo de experimento permite blocagem em três direções, ou seja, é utilizado para controlar, simultaneamente, três fatores de perturbação/ruído Planejamento altamente eficiente: permite investigação de a níveis (sem interações) com apenas a2 observações O fator representado pelas letras gregas é ortogonal às linhas, colunas e letras latinas Existem para todo a ≥ 3, exceto para a = 6

Ilustração Quadrado Greco-Latino Pegue todos os Q, J, K, e A de um baralho normal Arrume as cartas em um grid 4x4 tal que cada linha e cada coluna contenha todos os naipes e todos os “números” Coluna Linha 1 2 3 4 Q♣ A♥ K♠ J♦ J♥ K♣ A♦ Q♠ K♦ J♠ Q♥ A♣ A♠ Q♦ J♣ K♥

Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações são descritas através do modelo:

Tabela ANOVA Quadrados Greco-Latinos

Exemplo - Propulsores de Foguetes Letras A, B, C, D e E representam 5 tratamentos Esses são os dados originais recodificados (dados originais − 25) Lote Operador 1 2 3 4 5 yi.. A = −1 B = −5 C = −6 D = −1 E = −1 −14 B = −8 C = −1 D = 5 E = 2 A = 11 9 C = −7 D = 13 E = 1 A = 2 B = −4 E = 6 A = 1 B = −2 C = −3 E = −3 A = 5 C = 4 D = 6 7 y..k − 18 18 − 4 10 = y...

Tabela ANOVA – Quadrados Latinos Exemplo dos Propulsores de Foguetes Letra Latina Total Tratamento A y.1. = 18 B y.2. = −24 C y.3. = −13 D y.4. = 24 E y.5. = 5

Exemplo – Propulsores de Foguetes Suponha agora que, além de operadores e lotes de matéria-prima, temos ainda um terceiro fator perturbador: montagens de teste Então, a montagem de teste será representada pelas letras gregas α, β, γ, δ, e ε Vamos então analisar esse experimento usando um Quadrado Greco-Latino 5 x 5 A Análise de Variância é bem parecida com a análise para Quadrados Latinos

Exemplo - Propulsores de Foguetes Lote Operador 1 2 3 4 5 yi... Aα = −1 Bγ = −5 Cε = −6 Dβ = −1 Eδ = −1 −14 Bβ = −8 Cδ = −1 Dα = 5 Eγ = 2 Aε = 11 9 Cγ = −7 Dε = 13 Eβ = 1 Aδ = 2 Bα = −4 Dδ = −1 Eα = 6 Aγ = 1 Bε = −2 Cβ = −3 Eε = −3 Aβ = 5 Bδ = −5 Cα = 4 Dγ = 6 7 y...l − 18 18 − 4 10 =y.... As SS das linhas (lote), colunas (operadores) e letras latinas (formulações) são as mesmas que antes SSL = 330.00 SSLinhas = 68.00 SSColunas = 150.00 Calcule então SSG e monte a tabela ANOVA

Exemplo dos Propulsores de Foguetes Letra Grega Total α y..1. = 10 β y..2. = −6 γ y..3. = −3 δ y..4. = −4 ε y..5. = 13

Tabela ANOVA – Quadrados Greco-Latinos Exemplo dos Propulsores de Foguetes Conclusão: Existe uma diferença significativa na médias da velocidade de queima causadas pelas diferentes formulações Remoção da variabilidade devido às montagens de teste reduziu a SSE, e também os gl do erro

Análise Estatística Exemplo dos Propulsores de Foguetes No R > dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE) > fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) + factor(Operator) + factor(Assembly), data=dados) > anova(fit) Analysis of Variance Table Response: Rate Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Formulation) 4 330 82.50 10.0000 0.003344 ** factor(Batch) 4 68 17.00 2.0606 0.178311 factor(Operator) 4 150 37.50 4.5455 0.032930 * factor(Assembly) 4 62 15.50 1.8788 0.207641 Residuals 8 66 8.25 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1