Equilíbrio de um Corpo Rígido Cap. 5 MECÂNICA - ESTÁTICA Equilíbrio de um Corpo Rígido Cap. 5

Introduzir o conceito de diagrama de corpo livre para um corpo rígido. Objetivos (3D) Introduzir o conceito de diagrama de corpo livre para um corpo rígido. Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido. Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de um corpo rígido usando equações de equilíbrio.

5.6 Equações de Equilíbrio - Equações Vetoriais de Equilíbrio Condições de equilíbrio  Resultante de Forças agindo no corpo = 0 Resultante de Momentos agindo no corpo = 0 Equações Vetoriais de Equilíbrio:

5.6 Equações de Equilíbrio - Equações Escalares de Equilíbrio Expressando todas as forças externas na formas dos componentes dos vetores cartesianos:   e

Diagrama global do T1 (como corpo rígido)

Diagrama global do T1 (R = 16.0 m; a = 28.80; b = 38.80) PA – Peso da antena PT2 – Peso da metade da torre FA – Força vento na antena em A (vento nulo, 00, 300 e 900) FWA – Força vento na torre em A (vento nulo, 00, 300 e 900) FWB – Força vento na torre em B (vento nulo, 00, 300 e 900) FWC – Força vento na torre em C (vento nulo, 00, 300 e 900) RC – Reação de apoio em C (componentes x, y e z) RD – Reação de apoio em D (componentes x, y e z) RE – Reação de apoio em E (componentes x, y e z) RF – Reação de apoio em F (componentes x, y e z) PA FWA+FA 6.00 PT2 6.00 FWB RFz 10.0 PT2 6.00 RFx RFy RCz 6.00 REz FWC 12.5 RDz REy RCy RCx REx 14.0 16.0 7.71 RDx RDy

Diagrama global do T1 (R = 16.0 m; a = 28.80; b = 38.80) Z PA – Peso da antena PT2 – Peso da metade da torre FA – Força vento na antena em A (vento nulo, 00, 300 e 900) FWA – Força vento na torre em A (vento nulo, 00, 300 e 900) FWB – Força vento na torre em B (vento nulo, 00, 300 e 900) FWC – Força vento na torre em C (vento nulo, 00, 300 e 900) RC – Reação de apoio em C (componentes x, y e z) RD – Reação de apoio em D (componentes x, y e z) RE – Reação de apoio em E (componentes x, y e z) RF – Reação de apoio em F (componentes x, y e z) PA FWA+FA 6.00 PT2 6.00 FWB RFz 10.0 PT2 6.00 RFx RFy RCz 6.00 REz FWC 12.5 RDz REy RCy RCx REx 14.0 16.0 7.71 RDx RDy X Y

Diagrama global do T1 & equações de equilíbrio Z PA FWA+FA 6.00 PT2 6.00 FWB RFz 10.0 PT2 6.00 RFx RFy RCz 6.00 REz FWC 12.5 RDz REy RCy RCx REx 14.0 16.0 7.71 RDx RDy X Y

Equações de equilíbrio globais do T1

Conferência das equações do T1 ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFz=0 ΣMx=0 ΣMy=0 ΣMz=0 0 graus 0.00000 30 graus 90 graus Nulo

5.7 Restrições para um Corpo Rígido Restrições Redundantes Apoios Redundantes  mais do que o necessário  corpo se torna estaticamente indeterminado  existem mais incógnitas do que equações

5.7 Restrições para um Corpo Rígido Restrições Redundantes

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições Redundantes

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições inadequadas Número de equações deve ser igual ao de incógnitas, mas o corpo pode ficar instável devido às restrições de apoio inadequadas Em problemas tridimensionais  reações de apoio interceptam um eixo comum Em problemas bidimensionais  reações de apoio interceptam um mesmo ponto

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições inadequadas Em problemas tridimensionais  reações de apoio interceptam um eixo comum

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições inadequadas Em problemas bidimensionais  reações de apoio interceptam um mesmo ponto

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições inadequadas  Forças Reativas são todas Paralelas

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrições inadequadas  Forças Reativas são todas Paralelas

5.6 Restrições para um Corpo Rígido Restrição Parcial  Menos Forças Reativas do que Equações de Equilíbrio

Exemplo 5.18 A barra AB é sujeita a força de 200 N. Determine as reações na junta esférica A e a tração nos cabos BD e BE.

Diagrama de corpo livre Exemplo 5.18 - Solução Ax Ay Az rC rB TE TD A B C x y z 200 N Diagrama de corpo livre

Exemplo 5.18 - Solução Ax Ay Az rC rB TE TD A B C x y z 200 N

Exemplo 5.18 - Solução Ax Ay Az rC rB TE TD A B C x y z 200 N

Exemplo 5.18 - Solução Ax Ay Az rC rB TE TD A B C x y z 200 N

Exemplo 5.18 - Solução Ax Ay Az rC rB TE TD A B C x y z 200 N

Problema 5.C (eBook 5.5 (2 and 3 Force Members))

Problema 5.C Escreva as reações em função de x. Determine o valor de x para que as reações em A e C sejam iguais em módulo.

Problema 5.C - Solução 200 lb 24 ft B A C x 12 ft

C B A Ax, Ay , Cx ,e Cy Equações: Incógnitas: Quarta equação: ? Problema 5.C - Solução Equações: B C Incógnitas: Ax, Ay , Cx ,e Cy Quarta equação: ? Momento em B é nulo A

5.4 Elementos com Duas Forças

Problema 5.C - Solução

5.4 Elementos com Três Forças Se um elemento está sujeito somente a três forças: As forças devem ser concorrentes ou paralelas para que o elemento esteja em equilíbrio

Problema 5.C - Solução q = tan-1 (x/(24-x))

Aplicando as equações de equilíbrio: SFx = FB cos45 - FC cosq = 0 (1) Problema 5.C - Solução Equações: Aplicando as equações de equilíbrio: SFx = FB cos45 - FC cosq = 0 (1) SFy = FB sen45 + FC sinq = 200 (2) Isolando FC em (1): FC = FB cos45 / cosq q = tan-1 (x/(24-x))

Problema 5.C - Solução Substituindo em (2): FB sen45 + FB senq cos45 / cosq = 200 FB (sen45 cosq + senq cos45) = 200 cosq FB = 200 cosq / (sen45 cosq + senq cos45) (http://www.ficharionline.com/matematica) FB = 200 cosq / sen (45 + q) Substituindo em (1):    FC = 200 cos45 / sen (45 + q) q = tan-1 (x/(24-x))

Problema 5.C - Solução FB = 200 cosq / (sen45 cosq + senq cos45) ou como sen45 = cos45: FB = 200 cosq / (cos45 (cosq + senq)) Substituindo em (1): FC = 200 / (cosq + senq) q = tan-1 (x/(24-x))

Problema 5.C - Solução FB = 200 cosq / sen (45 + q) FC = 200 cos45 / sen (45 + q) Para que as forças sejam iguais: 200 cosq / sen (45 + q) = 200 cos45 / sen (45 + q) Ou seja: cosq = cos45 ou q = 45 45 = tan-1 (x / (24 - x)) 1 = x / (24 - x) 24 – x = x ou seja x = 12 ft q = tan-1 (x/(24-x))

Problema 5.C - Solução FB = 200 cosq / sen (45 + q) FC = 200 cos45 / sen (45 + q) q = 45 x = 12 ft FC = 200 cos45 / sen (45 + 45) FC = 200 0.7071 FC = FB = 141.4 lb q = tan-1 (x/(24-x))