Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem Algumas considerações finais

Ferramentas de modelagem de problemas estudados Sistemas Lineares Programação Linear Funções (Lineares, Afins, Escada, Quadrática, Racional, Polinomial geral, Exponencial, Logarítmica) Equações de Recorrência Lineares

Um problema de população Num país as taxas de nascimentos e mortes são, respectivamente 40 por mil e 15 por mil, por ano, respectivamente. A população inicial é de 50 milhões de habitantes. a) Deduza uma equacão de diferenças para a população no final de um ano, em relação à do final do ano anterior. b) Resolva a equação e estime qual será a população em 10 anos. c) Se, devido à alta taxa de natalidade, ocorrer emigração a uma taxa de 10000 por ano, qual será a mudança nos resultados?

Solução do Problema Pn=Pn-1+4/100 Pn-1-1.5/100 Pn-1, P0= 50 milhões Pn= (102.5/100)n P0= (102.5/100)n 50 milhões P10=(102.5)10.50.106/(100)10=64. 106 habitantes aproximadamente. Pn=Pn-1+4/100 Pn-1-1.5/100 Pn-1-104, logo Pn=(102.5/100)Pn-1-104, equação não homogênea Pn=k1(102.5/100)n+k2, logo k2=0.4 x 106 e k1=49.6x106 P10= 63.89 milhões de habitantes, aproximadamente

Sistema de Equações de Diferenças Suponha que a população de um país é dividida em 2 grupos de idades: G1= de 0 a 12 anos, G2= o resto. Suponha que os nascimentos só ocorrem no grupo 2, a uma taxa de 0.04 e cada grupo tem sua própria taxa de mortalidade, no G1, de 0.016 e no G2, de 0.03. Suponha que a população inicial de G1 é de 5 milhões e de G2 é de 15 milhões. É assumido que em cada ano 1/12 dos sobreviventes do G1 progridem para G2. a) Qual a população em G1/G2 após 1 ano? b) E após 2 anos? c) Como deve ser obtida a população após 10 anos?

Solução do Problema P1(t)= população de G1, P2(t)=população de G2 Para G1: P1(t+1)=0.04P2(t)+11/12 P1(t)(1-0.016)= os nascidos do G2+ a parcela dos sobreviventes que não foram para o G2 Para G2: P2(t+1)=1/12 P1(t)(1-0.016)+P2(t)(1-0.03)=os sobreviventes de G1 que foram para G2 e os sobreviventes de G2. Usando matrizes, se o vetor Pt for formado por P1(t) e P2(t), teremos Pt+1=A Pt, levando à resolução Pt=AtP0, onde as linhas de A são: 0.902 e 0.04 a primeira e 0.082 e 0.97 a segunda. P1(t)=5.11 e P2(t)=14.96, logo a população total será de 20.07 milhões. Para as demais deverá ser utilizado o recurso de produto de matrizes (pode ser implementado facilmente em MAPLE, por exemplo).

Porque resolver uma recorrência? Utilizar a relação de recursividade é ineficiente em geral, porque recalcula o mesmo valor várias vezes. Recorrência de Fibonacci: Fn=Fn-1+Fn-2 (recursivo) Fn=1/√5(өn-(-ө)-n), onde ө=(1+√5)/2, razão de outro (iterativo) Comparação: se n=20, o recursivo leva 1s e o iterativo leva 1/2ms, se n=30, o recursivo leva 2 min e o iterativo leva ½ ms, se n=50, o recursivo leva 21 dias e o iterativo leva ¾ ms, se n=100 o recursivo leva 109 anos e o iterativo leva 1,5ms. Recursividade= conceitual, Iteratividade = computacional.

Extensões dos tópicos estudados Programação não linear: a função objetivo e/ou as restrições são não lineares--- derivadas parciais de funções não lineares de várias variáveis+ Método de Multiplicadores de Lagrange (Teorema de Kuhn-Tucker) Equações de Recorrência não lineares yn+1=f(yn, yn-1,…), onde f função não linear

Exemplos de relação de recorrência não linear Xn+1=axn(1-xn) Equação Logística Discreta ( May -1976) ∆Rn=aRn-bRnWn e ∆Wn=cRnWn-dWn Sistema de Equações de Diferenças Predador x Presa, W=Lobos (predadores) e R=Coelhos (presas), a,b,c,d constantes positivas – análise experimental

Outras ferramentas importantes Derivada de funções --máximos e mínimos de funções Integral (anti-derivada) de funções – equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais Funções de Várias Variáveis, Derivadas parciais, Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis, equações diferenciais parciais e sistemas de equações diferenciais parciais.

Exemplo 1  

Solução do Exemplo 1  

Exemplo 2 Se U(x,y,z,t) for a temperatura num ponto (x,y,z) de um corpo sólido, num instante t, conhecendo as leis físicas que descrevem a evolução das trocas de calor, a temperatura inicial em cada ponto e a temperatura na superfície do sólido, determinar a temperatura em cada ponto do interior do corpo, em cada instante. Modelagem utilizando EDP; solução utilizando séries de Fourier, implementação computacional utilizando aproximação por polinômio trigonométrico ou método de diferenças finitas

Exemplo 3  

Solução do Exemplo 3  

Conclusão Compreensão do Problema, Método de Polya para Modelagem de Problemas: ainda útil nas áreas mencionadas e nos exemplos citados Compreensão do Problema, Dedução de um modelo matemática que descreva o problema, Solução do Modelo e verificação da solução, Interpretação da Solução Tópicos estudados: são úteis para estudar problemas mais sofisticados (aproximação de problemas não lineares por famílias de problemas lineares, de forma iterativa- métodos de ponto fixo)