DETERMINANTES Consideremos o número 1234. 1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES Consideremos o número 1234. São permutações de 1234. 1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1324 2314 3214 4213 1342 2341 3241 4231 1423 2413 3412 4312 1432 2431 3421 4321 quatro duas três uma cinco zero três uma quatro uma quatro duas cinco duas cinco seis 3214 3 1 1 3 2 4 1 2 4 3 2 pulos (duas inversões) 1 pulos (uma inversão) Temos um total de 3 inversões. Esta permutação e ímpar.

2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ A cada  matriz A = [aij], quadrada de ordem n, pode-se associar um número simbolizado por   det(A) chamado determinante da matriz A. Este número é definido por: det (A) = a1i1a2i2....anin - a1j1a2j2....anjn Onde i1, i2, ..., in são as permutações pares de 1234 e j1, j2, ..., jn são as permutações ímpares.

Det = a1 . a2 - a1 . a2 1 2 1 2 MATRIZ 2 X 2 Permutações de 12: 12 (zero inversão – par) e 21 (uma inversão – ímpar) Det = a1 . a2 - a1 . a2 1 2 1 2 a b c d A = ad - bc det(A) =

MATRIZ 3 X 3 (a1 a2 a3 + a1 a2 a3 + a1 a2 a3 ) Permutações de 1 2 3 1 2 3 (zero inversão – par) 1 3 2 (uma inversão – ímpar) 2 3 1 (duas inversões – par) 2 1 3 (uma inversão – ímpar) 3 1 2 (duas inversões – par) 3 2 1 (três inversões – ímpar) Det(A) = (a1 a2 a3 + a1 a2 a3 + a1 a2 a3 ) (a1 a2 a3 + a1 a2 a3 + a1 a2 a3 ) 1 2 3 1 3 2

det(A) = S1 – S2 MATRIZ 3 X 3 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 S2 = (a31a22a13+a32a23a11+ a33a21a12) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a21 a31 a32 S1 = (a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32) det(A) = S1 – S2

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES P1 - Det ( A ) = Det ( AT ) P2 - Det (k . A) = kn . Det ( A ). P3 - Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ). P4 – É nulo o determinante da matriz que (a) tem um fila cujos elementos são todos nulos. (b) tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais. (c) tem uma fila que é uma combinação linear de outras duas filas paralelas. P5 – O determinante de uma matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, quando todos os elementos de um ou dos dois lados da diagonal principal forem nulos. P6 – O determinante de uma matriz não altera quando trocamos a posição de duas filas paralelas de mesma paridade. Ex. trocar fila 1 com fila 5, ou fila 2 com fila 6. Se as paridades forem diferentes o determinante fica multiplicado por -1.

P7 – O determinante de uma matriz não altera quando substituímos uma fila pela combinação linear desta fila com filas paralelas. P8 – Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais. P8 – Se uma fila de uma matriz for decomposta na soma de duas ou mais parcelas, o determinante é igual à soma dos determinantes das matrizes que se obtêm mantendo as demais as demais linhas e substituindo a linha decomposta pelas parcelas obtidas na decomposição.

Exercícios: 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes 2 – Para que valor de “x” o determinante da matriz M é nulo? 3 – Para que valor de “a” o determinante da matriz N é igual a 12? N = 3 a 2 2 4 5 2 a 1 M = 2 x 9 -3