BCC101 Matemática Discreta I CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma BCC101 Matemática Discreta I Lógica de Predicados Álgebra Rex Page 1
Álgebra de Predicados ∀x. ¬P(x) = ¬∃x. P(x) {∃DeMorgan} ∃x. ¬P(x) = ¬∀x. P(x) {∀DeMorgan} ∀x. P(x) ∧∀x. Q(x) =∀x. (P(x) ∧Q(x)) {∀Dist} ∃x. P(x) ∨∃x. Q(x) = ∃x.(P(x) ∨Q(x)) {∃Dist} (∀x. P(x)) ∧Q = ∀x. (P(x) ∧ Q) (∀x. P(x)) ∨Q = ∀x. (P(x) ∨ Q) (∃x. P(x)) ∧Q = ∃x. (P(x) ∧Q) (∃x. P(x)) ∨Q = ∃x. (P(x) ∨Q) se x não ocorre livre em Q ... mais as equações da álgebra booleana
Raciocínio Equacional com Predicados Teorema ( (x. P(x)) (y. Q(y)) ) = (x. y. P(x) Q(y) ) Prova (x. P(x)) (y. Q(y)) = ((x. P(x))) (y. Q(y)) {implicação} = (x. P(x)) (y. Q(y)) {∀ DeMorgan} = x. ( (P(x)) (y. Q(y)) ) {∃Dist} = x. ( (y. Q(y)) (P(x)) ) { comut} = x. y. ( Q(y) (P(x)) ) {y não ocorre em P(x)} = x. y. ( (P(x)) Q(y) ) { comut} = x. y. ( P(x) Q(y) ) {implicação} qed
Prove a seguinte equivalência: Exercícios Prove a seguinte equivalência: x.P(x) y. ¬Q(y) = ¬ x. P(x) Q(x)