BCC 101 –Matemática Discreta Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 BCC 101 –Matemática Discreta Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Inferência Lógica Inferência Formal (lógica matemática) Linguagem – notação para enunciar teoremas (premissas e conclusões): fórmulas da linguagem Regras de Inferência – regras para concluir novas fórmulas a partir de fórmulas já provadas ou hipóteses Inferência Formal (Prova) – um conjunto de hipóteses juntamente com uma sequência de aplicações de regras de inferência para obter uma conclusão BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Inferência – exemplo 1 A soma de 2 números pare é um número par 10 é par 14 é par Portanto, a soma 10+14 é um número par (∀x∀y. par(x)  par(y) → par(x+y)), par(10), par(14) ⊢ par(10+14) hipóteses símbolo de sequente conclusão Quais são as regras de inferência usadas? BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Inferência – exemplo 1 ∀x. p(x)  {∀E} p(t) hipóteses ∀x∀y. par(x)  par(y) → par(x+y) par(10) par(14) ∀y. par(10)  par(y) → par(10+y) par(10)  par(14) par(10)  par(14) → par(10+14) a b  {I} a  b par(10+14) a a → b  {→E} b conclusão BCC101 - Matemática Discreta I

Algumas Regras de Inferência Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Algumas Regras de Inferência a  b  {EL} a E Eliminação Esq a  b  {ER} b E Eliminação Dir Implica Eliminação a ab  {E} b Nome em Latin: Modus Ponens a b  {I} a  b E Introdução Como as regras funcionam: Se temos provas das proposições acima da linha (ou se elas são premissas do sequente a ser provado), podemos inferir a proposição abaixo da linha. BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Exemplo 2 a  b, b -> c |– a  c prova de c dado a  b e b -> c Pode-se reusar uma hipótese do teorema prova de a dado a  b prova de b dado a  b hipótese a  b {ER} b hipótese a  b {EL} a  {⇒E} b ⇒ c c  {I} a  c BCC101 - Matemática Discreta I

Outro Teorema e sua Prova Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Outro Teorema e sua Prova Teorema a  b, ac, bd |– c  d Prova a ab  {E} b E rule Modus Ponens a  b {EL} a a  b {ER} b ac bd  {E}  {E} c d  {I} c  d BCC101 - Matemática Discreta I

BCC101 - Matemática Discreta I Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I

Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente Implica Introdução [a] |– b  {I} ab Se existe um prova da proposição b supondo a proposição a Então podemos inferir a proposição ab O que é diferente? A proposição suposta, a, não precisa ser uma premissa do teorema Também não precisa ser provada a partir das premissas Suposição Temporária A suposição de a é “admitida” temporariamente na prova Mais tarde, quando usamos a regra I, a hipótese a é descartada O que! Posso supor o que quiser? Qual é a lógica nisso? O parte de cima da regra não requer que a seja verdadeiro, nem b Ela requer apenas que, se a for verdadeiro, então se pode provar b BCC101 - Matemática Discreta I

Como a Introdução da Implicação é usada Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Como a Introdução da Implicação é usada |– P  Q  Q Prova Isso prova o sequente P  Q |– Q Nesse ponto a prova adimite, temporariamente, a hipótese extra P  Q Aplicando I descarrega-se hipótese extra P  Q {ER} Q  {I} P  Q  Q Implica Introdução [a] |– b  {I} ab Aplicando a regra I com a = P  Q e b = Q Temos P  Q |– Q e podemos inferir P  Q  Q BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Transitividade da Implicação Paciência ... – provas, provas, e mais provas Teorema (Transitividade da Implicação) ab, bc |– ac Suponha que podemos provar o sequente a |– c Então a regra I levaria à conclusão ac Estratégia da prova Suponha a Prove a |– c Conclua ac (pela aplicação da regra I) prova demais hipóteses a ab {E} b hipótese adimitida temporariamente descartada bc {E} c {I} ac conclusão por I BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Descarga de hipóteses Quando se usa uma das seguintes regras I descarrega a 1 hipótese E descarrega as 2 hipóteses PBC descarrega a 1 hipótese Porque isso ocorre nessas regras? Essas regras têm sequentes como premissas Nenhuma outra regra descarrega hipóteses BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Descarga de hipóteses Ao final, as folhas restantes são premissas do teorema a |– b  {I} ab descarrga {IL} a  b {E} {I} a a  Falso Falso (a  b)  Falso Origina 1 descarga Before clicking to bring up orange animation pointing out False/b connection, ask a student from class to identify the conclusion of the sequent triggering the discharge. Before proceeding to the “Discharge all identical” line, ask a student in class to identify the subtree above the conclusion of the sequent triggering the discharge. In this example, the proposition “a” occurs as an assumption at only one point in the subtree corresponding to the sequent triggering the discharge. But, in other examples, the assumption a could occur in several places. Before, going to the “In the end” line, ask a student in class to identify places in this example where assumptions occur. Get the student to recognize that assumptions correspond to leaves in the tree. Therefore, the propositions residing at leaves that remain undischarged at the end of the proof are the assumptions of the theorem proved by the tree-proof. BCC101 - Matemática Discreta I

Como encontrar a hipótese a descarregar Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Como encontrar a hipótese a descarregar hipótese descarregada na subárvore a |– b deve ser idêntica à fórmula correspondente a a em ab Implica Introdução [a] |– b  {I} a  b hipótese descarregada na subárvore a |– c deve ser idêntica à fórmula correspondente a a em ab a  b [a] |– c [b] |– c {E} c Ou Eliminação de modo análogo em b |– c, mas casando b em ab Note: RAA rule not illustrated in any proofs given so far. Comes up later in this lecture. For now, just observe formal structure of discharges in these 3 rules. [a] |– False {PBC} a Redução ao Absurdo hipótese descarregada na subárvore a |– False deve ser idêntica a a, onde a é a fórmula abaixo da linha BCC101 - Matemática Discreta I

Um exemplo mais complicado Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Um exemplo mais complicado a  b, c →  a, b  d |– c  d a  b a |– c b |– c {E} c hipóteses descarregardas  {modus tollens}  c c a a  c  d a b  {E} d b d b  { IL}  { IR} BCC101 - Matemática Discreta I

Uma Prova Usando Contradição Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Uma Prova Usando Contradição hipóteses restantes a  b, a |– b (silogismo disjuntivo)  {E} a Plano Derive b de a Derive b de b Use E a  b a |– c b |– c {E} c   a  b b b {E} b a  a {E } que hipóteses descarregar? {E}  b {ID} BCC101 - Matemática Discreta I

Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Redução ao Absurdo (a) { F} a Negação Dupla Dir (a) |– a Plano Derive Falso de a, dado (a) Conclua a (usando PBC) [a] |–  {PBC} a a (a)  Qual a regra para isso? {E } hipótese restante  {PBC} a Que hipótese descartar? BCC101 - Matemática Discreta I

Lei do Terceiro Excluído |– (a)  a Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Lei do Terceiro Excluído |– (a)  a Plano Derive Falso de ((a)  a) Conclua (a)  a, usando PBC [a] |–  {PBC} a {()ER} a ((a)  a) ((a)  a) {()EL} (a)   { E} {PBC} (a)  a o que descarregar? (a  b) {()ER} b o que mais? conclusão que hipóteses restam? BCC101 - Matemática Discreta I

Lei de DeMorgan —  Direto (a  b) |– (a)  (b) Lecture 4 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 Lei de DeMorgan —  Direto (a  b) |– (a)  (b) Plano Derive a  b de ((a)  (b)) Note o conflito com a hipótese Conclua (a)  (b), usando PBC (a  b) {DeMF} (a)(b) DeMorgan E Direto Descarregar? ((a)  (b)) {()EL} (a) ((a)  (b)) {()ER} (b) {F} b {F} a {I} a  b (a  b)   {E } {PBC} (a)  (b) BCC101 - Matemática Discreta I