Noções de trigonometria e funções trigonométricas Capítulo 15 Noções de trigonometria e funções trigonométricas slide 1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.

Objetivos de aprendizagem Graus e radianos. Comprimento de arco. Algumas medidas trigonométricas. O círculo trigonométrico. Algumas funções trigonométricas. Arcos trigonométricos inversos. Identidades fundamentais.

Graus e radianos O grau é representado pelo símbolo “°” e é o ângulo cuja medida é igual a de um ângulo raso. O radiano é o ângulo central formado quando um arco de comprimento s tem a mesma medida do raio r do círculo, no qual está inserido.

Comprimento de arco Fórmula do comprimento do arco (medida em radianos) Se q é um ângulo central em um círculo de raio r, e se q é medido em radianos, então o comprimento s do arco interceptado é dado por : s = rq Fórmula do comprimento do arco (medida em graus) Se q é um ângulo central em um círculo de raio r, e se q é medido em graus, então o comprimento s do arco interceptado é dado por:

Algumas medidas trigonométricas Triângulo de vértices ABC e medidas trigonométricas do ângulo q .

Algumas medidas trigonométricas A posição inicial do raio, o lado inicial, é girado em torno de sua extremidade, chamada de vértice. A posição final é chamada de lado terminal. Ângulos positivos são gerados por rotações no sentido anti-horário, e ângulos negativos são gerados por rotações no sentido horário. Um ângulo com medida positiva a.

Algumas medidas trigonométricas Dois ângulos na posição padrão. Em (a) a rotação anti-horária gera um ângulo com medida positiva. Em (b) a rotação horária gera um ângulo com medida negativa.

Algumas medidas trigonométricas Ângulos equivalentes. Em (a) um ângulo positivo e um ângulo negativo são equivalentes, enquanto em (b) ambos os ângulos equivalentes são positivos.

O círculo trigonométrico Temos ao lado o círculo de raio 1; o eixo horizontal x fornece a medida do cosseno do ângulo formado, partindo do 0 no sentido anti-horário, e o eixo vertical y fornece a medida do seno do mesmo ângulo.

Funções trigonométricas A função seno: f (x) = sen x ou f(x) = sen (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2p. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais. Não tem assíntotas verticais.

Funções trigonométricas A função seno: Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.

Funções trigonométricas A função cosseno: f(x) = cos x ou f(x) = cos (x) Domínio: conjunto de todos os números reais. Imagem: [-1, 1]. A função é contínua. É alternadamente crescente e decrescente. É periódica de período 2p. É simétrica com relação ao eixo vertical y (é uma função par). É limitada. O máximo absoluto é 1. O mínimo absoluto é -1. Não tem assíntotas horizontais.

Funções trigonométricas A função cosseno: Não tem assíntotas verticais. Comportamento nos extremos do domínio: não existem. Os valores da função oscilam de -1 até 1.

Funções trigonométricas A função tangente: Domínio: conjunto dos números reais sem os múltiplos ímpares de Imagem: conjunto de todos os números reais. A função é contínua sobre o seu domínio. É crescente em cada intervalo do domínio. É simétrica com relação à origem (é uma função ímpar). Não é limitada superior nem inferiormente. Não tem extremos locais.

Funções trigonométricas A função tangente: Não tem assíntotas horizontais. As assíntotas verticais são da forma para todo k ímpar. Comportamento nos extremos do domínio não existem. Os valores da função oscilam no intervalo ]–∞, + ∞[.

Função cotangente A função cotangente é a recíproca da função tangente. Então: A cotangente tem assíntotas nos zeros da função seno e zeros nos zeros da função cosseno.

Função secante As características da função secante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função cosseno.

Função cossecante Características da função cossecante são concluídas a partir do fato de ela ser a recíproca da função seno.

Arcos trigonométricos inversos Se você restringir o domínio de y = sen x ao intervalo como mostrado na figura abaixo (a), a função restrita é injetora. A inversa da função seno, y = sen−1 x, é a inversa dessa porção restrita da função seno, vista na figura abaixo (b).

Arcos trigonométricos inversos Função seno inverso (função arco-seno) O único ângulo y no intervalo tal que sen y = x é o seno inverso (ou arco-seno) de x, denotado sen−1 x ou arc sen x. O domínio de y = sen−1 x é [–1, 1], e a imagem é Figura a seguir: (a) A restrição de y = cos x é injetora e (b) tem uma inversa, y = cos-1 x.

Arcos trigonométricos inversos

Arcos trigonométricos inversos Função cosseno inverso (função arco-cosseno) O único ângulo y no intervalo [0,p], tal que cos y = x, é a inversa do cosseno (ou arco-cosseno) de x, denotada cos-1 x ou arc cos x. O domínio de y = cos-1 x é [–1, 1], e a imagem é [0, p]. Figura a seguir: A (a) restrição de y = tg x é injetora e (b) tem uma inversa, y = tg-1 x.

Arcos trigonométricos inversos

Arcos trigonométricos inversos Função tangente inversa (função arco-tangente) O único ângulo y no intervalo tal que tg y = x, é a tangente inversa (ou arco-tangente) de x, denotado tg-1 x ou arc tg x. O domínio de y = tg-1 x é (−∞, ∞), e a imagem é

Identidades fundamentais Identidades trigonométricas básicas Identidades recíprocas: Identidades de quociente:

Identidades pitagóricas A identidade fundamental da trigonometria: A partir dessa identidade, podemos deduzir as identidades pitagóricas. Se dividirmos cada termo da identidade por (cos x)2, obtemos uma identidade que envolve tangente e secante:

Identidades pitagóricas Se dividirmos cada termo da identidade por (sen x)2, obtemos uma identidade que envolve cotangente e cossecante: Identidades pitagóricas

Outras identidades úteis Identidades de cofunções Identidades de cofunções 2 paridade e imparidade

Soma e diferença de arcos Seno de uma soma ou diferença sen (u v) = sen u cos v cos u sen v Note que o sinal não troca em nenhum dos casos. Cosseno de uma soma ou diferença cos (u v) = cos u cos v sen u sen v Note a mudança de sinal nos dois casos.

Soma e diferença de arcos Tangente de uma soma ou diferença Existe também uma fórmula para tg (u v), que é escrita inteiramente em termos de funções tangente.

Arcos múltiplos Identidades de ângulo duplo

Arcos múltiplos Identidades de redução de potência

Arcos múltiplos Identidades de metade de ângulo

Resolução de triângulos (AAL, ALA) Lei dos senos Em qualquer ABC com ângulos A, B e C e lados opostos a, b e c, respectivamente, a equação a seguir é verdadeira: Resolução de triângulos (AAL, ALA) Dois ângulos e um lado de um triângulo, em qualquer ordem, determinam o tamanho e a forma de um triângulo. É claro, dois ângulos de um triângulo determinam o terceiro, assim, obtemos uma das três partes faltantes de graça. Resolvemos as duas partes restantes com a lei dos senos.

O caso ambíguo (LLA) Lei dos cossenos Se o ângulo estiver incluído entre os dois lados (o caso LAL), então o triângulo será unicamente determinado a menos de congruência. Se o ângulo for oposto a um dos lados (o caso LLA), então poderão existir um, dois ou zero triângulos determinados. Lei dos cossenos Seja ABC qualquer triângulo com lados e ângulos indicados de modo usual. Então:

Área do triângulo TEOREMA Fórmula de Herão Sejam a, b e c os lados do ABC, e seja s o semiperímetro: então, a área de ABC é dada por