Capítulo 10 Funções polinomiais slide 1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.

Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções polinomiais. Comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio. Raízes das funções polinomiais. Divisão longa e algoritmo da divisão. Teorema do resto e teorema de D’Alembert. Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini. Teorema das raízes racionais. Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial.

Gráficos de funções polinomiais Cada monômio na soma (anxn + an–1xn–1, …, a0) é um termo do polinômio. A forma padrão de escrever uma função polinomial é com seus termos apresentando graus decrescentes. As constantes an, an–1, …, a0 são os coeficientes do polinômio. O termo anxn é o termo principal, e a0 é o termo constante. Toda função polinomial está definida e é contínua para todos os números reais.

Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções cúbicas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.

Gráficos de funções polinomiais Gráficos de quatro funções quárticas típicas: (a) dois com coeficiente principal positivo e (b) dois com coeficiente principal negativo.

Gráficos de funções polinomiais TEOREMA - Extremos locais e raízes de funções polinomiais Uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n - 1 extremos locais e, no máximo, n raízes. Uma característica importante das funções polinomiais é o seu comportamento nos extremos do domínio. Esse comportamento está relacionado com o comportamento do termo principal.

Gráficos de funções polinomiais Teste do termo principal para comportamento das funções polinomiais nos extremos do domínio

Raízes das funções polinomiais Encontrar as raízes de uma função f é equivalente a encontrar os valores de x por onde o gráfico de y = f (x) passa no eixo horizontal x, que são as soluções da equação f (x) = 0. Uma ideia é fatorar a função polinomial. Se f é uma função polinomial e (x - c)m é um fator de f, mas (x - c)m+1 não o é, então c é uma raiz de multiplicidade m de f, isto é, m é o número de vezes que c é raiz dessa função. Uma raiz de multiplicidade m > 2 é uma raiz repetida.

Raízes das funções polinomiais Gráfico de f (x) = (x - 2)3(x + 1)2.

Raízes de multiplicidade ímpar e par Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade ímpar, então o gráfico de f cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f muda de sinal em x = c. Se uma função polinomial f tem uma raiz real c de multiplicidade par, então o gráfico de f não cruza o eixo horizontal x em (c, 0), e o valor de f não muda de sinal em x = c. O teorema do valor intermediário nos diz que a mudança de sinal da função implica a existência de uma raiz real dessa função.

Teorema do valor intermediário Se f (a) < 0 < f (b), então existe uma raiz x = c entre a e b.

Divisão longa e o algoritmo da divisão Veremos uma maneira de fatorar um polinômio utilizando a divisão de polinômios, bastante semelhante à divisão de números inteiros. Observe os exemplos a seguir:

(Divisor)(Quociente)+ Resto = Dividendo Divisão longa e o algoritmo da divisão A divisão, seja de um número inteiro ou de um polinômio, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto. Podemos verificar e resumir nosso resultado com uma equação da forma (Divisor)(Quociente)+ Resto = Dividendo Das divisões longas expostas, são verdades:

Algoritmo da divisão para polinômios Existem os únicos polinômios q(x) e r(x), chamados de quociente e resto, respectivamente, tais que: A função f (x) no algoritmo da divisão é o dividendo, e d(x) é o divisor. A equação dada no algoritmo da divisão pode ser escrita na forma de fração como:

Teorema do resto e teorema de D’Alembert Se um polinômio f (x) é dividido por x - k, então o resto é r = f (k). Teorema de D’Alembert O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto. Uma função polinomial f (x) tem um fator x - k se, e somente se, f (k) = 0, isto é, a divisão de f (x) por x - k é exata se, e somente se, f (k) = 0.

Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Um método mais curto para a divisão de um polinômio pelo divisor x - k é chamado método de Briot Ruffini.

Divisão de polinômios pelo método de Briot Ruffini Repetimos o coeficiente do termo de maior grau embaixo dele mesmo. Multiplicamos esse número pelo k e somamos com o próximo coeficiente da primeira linha; o resultado fica embaixo desse próximo coeficiente. Repetimos esses passos até o final: Logo, temos que:

Teorema das raízes racionais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 da forma: p é um fator inteiro do termo independente a0; q é um fator inteiro do coeficiente principal an. Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial Um número k é um limite superior para raízes reais de f, se f (x) = y não for zero, quando x for maior do que k.

Limites superior e inferior das raízes de uma função polinomial c é um limite inferior e d é um limite superior para as raízes reais de f.

Teste dos limites superior e inferior de raízes reais Seja f uma função polinomial de grau n > 1 com um coeficiente principal positivo. Suponha f (x) dividido por x - k, usando o método de Briot Ruffini. Se k > 0 e todos os números na segunda linha não são negativos (sendo positivos ou zero), então k é um limite superior para as raízes reais de f. Se k < 0 e os números na segunda linha são alternadamente não negativos e não positivos, então k é um limite inferior para as raízes reais de f.