Aula 14 Taxas Relacionadas
Introdução Em um problema de taxas relacionadas, a idéia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra. O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo.
Exemplo 1 Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for
Solução Dado: (taxa de crescimento do volume do ar) Incógnita: (taxa de crescimento do raio quando o raio é )
Solução Volume da esfera Se colocarmos e nessa equação, obteremos O raio do balão está crescendo a uma taxa de
Exemplo 2 Uma escada de de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a da parede?
Solução Dado: Diagrama Derivando cada lado em relação a t usando a Regra da cadeia temos:
Solução Note que . Quando Logo O topo da escada está deslizando para baixo a uma taxa de
Exemplo 3 Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com base de raio e altura igual Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de encontre a taxa pela qual o nível da água estará se elevando quando a água tiver de profundidade.
Solução Dado: Esboço do cone
Solução Logo Substituindo e temos O nível da água estará subindo a uma taxa de
Exemplo 4 O carro segue em direção ao oeste a e o carro segue rumo ao norte a Ambos estão se dirigindo para a intersecção de duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro está a e o carro está da intersecção?
Solução Dado: Esboço
Solução Para e Logo Os carros aproximam-se um do outro a uma taxa de
Exemplo 5 Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de Um holofote localizado no chão a do caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a do ponto do caminho mais próximo da luz?
Solução Dado: Esboço:
Solução Quando temos . Logo O holofote está girando a uma taxa de
Obrigado !