DERIVADA SEGUNDA Função que se obtém ao derivar a derivada de f(x) Notações: y’’ = f ’’(x) = d2y dx2
Para cada função a seguir, obtenha sua derivada segunda: P = 0,05q3 y’’ = 0,3q2 b) L = - 2q2 + 160 q – 1400 L’’ = - 4 c) E = t2 – 8t + 210 E’’ = 2
C’’ = 400 q3 d) C = 200 + 10 q e) y = 10 x3 y’’ = 120 q5 f) y = ax2 + bx + c y’’ = 2a
Concavidade e derivada segunda a medida que x aumenta, f’(x), a derivada (tg), também aumenta. x
x a medida que x aumenta, f’(x), a derivada (tg), diminui.
Relacionando a variação da derivada com a concavidade da curva pode-se observar que: Se f’’(x) > 0 então f terá a concavidade voltada para Cima. Se f’’(x) < 0 então f terá a concavidade voltada para Baixo.
Regra prática para o exame de máximos e mínimos: Passo 1: Encontrar a derivada da função Passo 2: Igualar a derivada a zero e achar as raízes da equação obtida Passo 3: Encontrar a derivada segunda-feira Passo 4: Substituir cada valor crítico na derivada segunda. f’’(x) < 0 (negativo) => concavidade para baixo => máximo f’’(x) < 0 (positivo) => concavidade para cima => mínimo
Em cada exercício a seguir, é dada uma função associada a uma situação prática. Para cada um deles: esboce o gráfico indicando os pontos de máximo ou mínimo local ou global; b) encontre os valores de máximo ou mínimo local ou global se existirem; c) os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas.
R(q) = -q3 +30q2 (Receita R para quantidade q vendida; 0 < q < 30) 2) L(q) = - q2 + 20q – 84 (Lucro L para quantidade q vendida 0 < q < 15) 3) f(x) = x3 – 3x2 – 9x 4) f(x) = 2x3 – x2 – 4x + 1 5) f(x) = x4 – 2x3 + 2x