Solução Básica Factível e Método Simplex Introdução ao Método Simplex Fase I e Fase II

Fundamentação teórica Teorema 1 :O conjunto C das soluções viáveis de um modelo de programação linear é um conjunto convexo. Prova : Seja C o conjunto formado pelos pontos x tais que: A x = b x Se C é convexo então a combinação linear convexa de dois pontos distintos x1, x2 pertencentes a C, também pertence a C. Isto é equivalente a dizer que: {x1, x2} C => x = x1 + (1- x C com 0 1 Sejam duas soluções viáveis de C, x1, x2, tais que x1 x2, então: Ax1 = b, Ax2 = b com x1 x2

Fundamentação teórica E seja x = x1 + (1- x 0 1 Então Ax = A [ x1 + (1- x ] = x1 + (1- x2 = b + (1- b = b Observe que x uma vez que x1, x2 e 0 1 garante x = x1 + (1- x

Teorema 2: Toda solução básica viável do sistema Ax = b é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, ou seja, um extremo do conjunto C. Prova: Fundamentação teórica

Seja I = {1,2,...,m} uma base x 1 x 2... x m x = 0 Solução Básica Factível

Por absurdo, vamos supor que x não é um ponto extremo de S. Então, existe u S e v S, u v tal que x possa ser representado como combinação convexa de u e v : x = u + (1- )v, 0 < < 1 ou x 1 x 2... x m u 1 u 2... u m u m+1... u n = v 1 v 2... v m v m+1... v n + (1- ) como u 0 e v 0 e 0 < < 1 u i = v i = 0, i I e pela unicidade da solução básica, x = u = v x é ponto extremo de S Fundamentação teórica

Teorema 3: Todo ponto extremo x de um conjunto de soluções viáveis de um sistema Ax=b é uma solução viável. Corolário 1 : O conjunto de pontos extremos de um conjunto de soluções viáveis é finito e limitado em Cm,n. Corolário 2 : Se existe uma solução viável, então existe uma solução básica viável. Fundamentação teórica

Teorema 4: 1. Se uma função objetivo possui um máximo ou mínimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo C do Teorema Se a função objetivo assume o máximo ou o mínimo em mais de um ponto extremo, então ela toma o mesmo valor de qualquer combinação desses pontos. Prova: Fundamentação teórica

Na demonstração do Teorema 4 vamos utilizar, sem prova, a seguinte afirmação: Em um PL na forma padrão, com bases viáveis v1, v2,..., vk, qualquer ponto x da região viável deste PL pode ser escrito na forma x = d + no qual d é 0 ou uma direção sem limites e =1 e. Fundamentação teórica

Seja x um solução ótima para o PL. Dado que x é viável, x pode ser escrito na forma, na qual d é 0 ou uma direção sem limites e v1, v2,..., vk são bases viáveis do PL. Também, e. Se cd > 0, então para qualquer k > 0, kd + zzzz é viável, e como k cresce indefinidamente a função objetivo tende ao infinito. Isto contradiz o fato que o PL tem uma solução ótima limitada. Se cd < 0, então o ponto viável tem um valor de função objetivo maior que x. Isto contradiz a otimalidade de x. Em resumo, se x é óitmo entao cd = 0. Neste caso o valor da função objetivo para x é dado por Suponha que v1 é a solução viável com maior valor de função objetivo. Dado que e decorre cv1 cx. No entanto, uma vez que x é ótimo, implica que v1 também é ótimo, Fundamentação teórica

Solução Básica Factível é ponto extremo de S Max Z = x 1 + x 2 s.a. 2x 1 + x 2 + x 3 = 8 x 1 + 2x 2 + x 4 = 7 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 I A ={3,4,5}x 3 =8, x 4 =7,x 5 =3 SBFactível J Á ={1,2} x 1 = x 2 = 0 Ponto Extremo A I B ={1,4,5}x 1 =4, x 4 =3,x 5 =3 SBFactível J B ={2,3} x 2 = x 3 = 0 Ponto Extremo B I C ={1,2,5}x 1 =3, x 2 =2,x 5 =1 SBFactível J C ={3,4} x 1 = x 2 = 0 Ponto Extremo C I D ={1,2 3}x 1 =3, x 2 =2,x 3 =1 SBFactível J D ={4,5} x 4 = x 5 = 0 Ponto Extremo D I E ={4,2,3}x 4 =1, x 2 =3,x 3 =5 SBFactível J E ={1,5} x 1 = x 5 = 0 Ponto Extremo E I F ={5,2,3}x 5 =1/2, x 2 =7/2,x 3 =9/2 SBInfactível J F ={1,4} x 1 = x 4 = 0 Ponto Extremo F X1X1 X2X2 4 3 A B C D EFG X 5 =0 X 3 =0 X 4 =0 I H Existem 9 soluções básicas: 5 Soluções Básicas Factíveis (Pontos Extremos) 4 Infactíveis

Método Simplista para Resolver um PL 1) Listar todas as soluções básicas factíveis do PL 2) Avaliar a função objetivo sobre elas e escolher a de maior valor Desvantagens do Método Exaustivo: i) pode ser muito grande ii) solução ilimitada iii) PL inconsistente Método mais inteligente SIMPLEX

Forma Preparada de um PL Seja o PL (MAX) Z = c x s.a.A x = b x 0 A(m n), n >= m e, por hipótese, o sistema A x = b é: - não degenerado - não redundante - não inconsistente Seja uma base factível qualquer I, a forma padrão pode ser escrita: c I x I + c J x J = Z (MAX) s.a.A I x I + A J x J = b x I, x J 0 cIcI cJcJ mn AIAI AJAJ xIxI xJxJ m n = Z b

Pré-multiplicando a forma padrão por (A I ) -1, tem-se: (A I ) -1 (A I x I + A J x J = b) x I = (A I ) -1 b - (A I ) -1 A J x J e substituindo-se na função objetivo: c I [(A I ) -1 b - (A I ) -1 A J x J ] + c J x J = Z (MAX) c I (A I ) -1 b + [c J - c I (A I ) -1 A J ]x J = Z (MAX) Definindo: = c I (A I ) -1 (vetor multiplicador) e Z o = b (f.o.) chega-se a um segundo tipo de forma padrão: c J - A J (A I ) -1 A J xIxI xJxJ = Z - Z o (A I ) -1 b 0 x I + [c J - A J ] x J = Z (MAX) - Z o 1 s.a.1 x I + (A I ) -1 A J x J = (A I ) -1 b x I, x J 0

Forma Preparada de um PL x I variáveis básicas x J variáveis não básicas  J = (A I ) -1 A J b = (A I ) -1 b Ĉ = [ 0, c J - A J ] (vetor de custo relativo a base I) = c I (A I ) -1 (vetor multiplicador relativo a base I) Ĉ x J = Z (MAX) - Z o 1 s.a.1 x I +  J x J = b x I, x J 0 Fazendo x J = 0, x I = (A I ) -1 b 0 solução básica factível Z = Z o (valor da função objetivo para esta solução básica) ^ ^

Procedimento do Método SIMPLEX Passar de solução básica factível a outra, tentando melhorar a função objetivo 1) Escolher uma variável não básica que melhore a função objetivo c j - A j > 0 e colocá-la na base 2) Escolher uma variável básica para sair da base de modo a manter a factibilidade. A questão é como escolher a primeira solução básica factível?

Exemplo x 1 + x 2 = Z (MAX) s.a. 2x 1 + x 2 + x 3 = 8 x 1 + 2x 2 + x 4 = 7 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Seja a base I = {3,4,5} resultando na solução básica factível x 1 = x 2 = 0, x 3 = 8, x 4 = 7, x 5 = 3 O PL já está na FORMA PREPARADA relativa a base I, portanto, x 1, x 2 são candidatos a entrar na base, pois seus coeficientes são positivos e aumentam Z. Escolho x 2 para aumentar (entrar na base) e conservo x 1 em nível zero (na base), então para manter a factibilidade tenho: x 3 = 8 - x 2 x 2 8 x 4 = 7 - x 2 x 2 7 x 5 = 3 - x 2 x 2 3 (Linha de Bloqueio)

Exemplo CONCLUSÃO: x 2 entrar na base (assume um valor positivo) x 5 sai da base (assume valor zero) I = {3,4,5} I = {3,4,2} Para colocar o PL na forma preparada em relação a base I basta executar a operação de pivoteamento em torno de A 2 3 min b/A j

Exemplo Nova Solução Básica Factível Agora somente x 1 faz crescer Z, portanto faz-se x 1 crescer (entrar na base) e mantém-se x 5 em nível zero (fora da base) para manter a factibilidade tem-se: x 3 = 5 - 2x 1 x 1 5/2 x 4 = 1 - x 1 x 1 1 (Linha de Bloqueio) x 2 = 3 x 1 irrestrito

Exemplo CONCLUSÃO: x 1 entrar na base x 4 sai da base I = {3,4,2} I = {3,1,2} Para colocar o PL na forma preparada em relação a base I basta executar a operação de pivoteamento em torno de  2 1 nova solução básica factível

Exemplo x 5 ainda faz crescer Z e x 3 bloqueia o seu crescimento, portanto: CONCLUSÃO: x 5 entrar na base x 3 sai da base I = {3,1,2} I = {5,1,2} Solução Básica ÓTIMA Todos os coeficientes da função objetivo são não positivos, portanto Z não pode mais aumentar

Observações a respeito do exemplo: SOLUÇÃO ILIMITADA Ĉ 0 e toda coluna A J 0 SOLUÇÃO MÚLTIPLA algum Ĉ não básico = 0 Interpretação Geométrica do SIMPLEX: - caminha de ponto extremo em ponto extremo adjacente através da aresta que os liga no sentido de fazer Z crescer no caso apresentado o algoritmo fez o seguinte percurso: A E D C X1X1 X2X2 4 3 A B C D EFG X 5 =0 X 3 =0 X 4 =0 I H

Algoritmo SIMPLEX (resumido) Supondo CONSISTÊNCIA, NÃO-REDUNDÂNCIA e conhecida uma BASE FACTÍVEL INICIAL 1) Verificar se a base factível atual é ÓTIMA. Se for, PARE. Caso contrário vá para 2 2) Determinar a variável não-básica a entrar na base. 3) Determinar a variável básica a sair da base. 4) Achar a nova solução básica factível (por pivoteamento) e voltar a 1.

Algoritmo SIMPLEX Supondo CONSISTÊNCIA, NÃO-REDUNDÂNCIA e conhecida uma BASE FACTÍVEL INICIAL I 0) Coloque o problema na forma padrão relativa a base I. 1) Determine Ĉ s = Max Ĉ j, para j I (isto é sugestão, o algoritmo funciona com qualquer Ĉ j > 0, para j I) 1.1) Se Ĉ s 0, PARE. A solução básica correspondente a base I é ótima. 1.2) Se Ĉ s > 0, vá para 2. 2) Examine o vetor  s 2.1) Se  s 0 (isto é, todos os seus componentes são não positivos), PARE. O PL tem solução ilimitada. 2.2) Se {i /  s > 0} 0 a) Determine r / ^b/ i s = Min {^b/ i s } para {i /  i s > 0} b) Identifique  r s como elemento pivô. Defina a nova base I trocando s por r. c) Pivoteie em torne de  r s volte a 1

Convergência do Método SIMPLEX Numa iteração do SIMPLEX, quando se passa de uma solução básica factível à outra, a função objetivo cresce de: Z = Ĉ s ^b r /  r s ĈsĈs Z - Z o coluna s ÂrsÂrs linha r ^b r Como por hipótese: Ĉ s > 0 (se Ĉ s 0 solução ótima) ^b r > 0 (não degenerescência)  r s > 0 (se Ĉ s > 0 e  s 0) solução ilimitada Conclui-se que Z > 0

Situações Especiais no Método SIMPLEX Se a função objetivo cresce estritamente, a cada iteração e o número de soluções básicas factíveis é finito, então o método SIMPLEX converge (para uma solução ótima finita ou ilimitada) em um número finito de passos. 1) Problemas de Minimização Min f(x) = - (Max - f(x)) 2) Empate no critério de entrada da variável na base (resolve-se arbitrariamente) 3) Empate no critério de saída da variável na base (resolve-se arbitrariamente) SOLUÇÃO DEGENERADA 4) CICLAGEM Se um PL tem soluções básicas factíveis degeneradas, o método SIMPLEX pode ficar indefinidamente se movendo sobre elas (ciclando). - é muito raro - existem regras que evitam a ciclagem (método lexicográfico)

Obtenção de uma Solução Básica Inicial Factível Faz-se uso de Variáveis Artificiais: -x 1 + 2x 2 = Z (MAX) s.a. x 1 + x 2 2 -x 1 + x 2 1 x 2 3 x 1, x 2 0 Na forma padrão: -x 1 + 2x 2 = Z (MAX) s.a. x 1 + x 2 - x 3 = 2 -x 1 + x 2 - x 4 = 1 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

Não havendo solução factível óbvia: usa-se Variáveis Artificiais: x a Neste caso necessito de duas variáveis artificiais: x 6 e x 7 As restrições ficam: s.a. x 1 + x 2 - x 3 + x 6 = 2 -x 1 + x 2 - x 4 + x 7 = 1 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 I = {6,7,5} é uma base factível, portanto, SOLUÇÃO DE PARTIDA PARA O MÉTODO SIMPLEX Cuidado: restrições originais acrescidas das v.a. condição de equivalência Obtenção de uma Solução Básica Inicial Factível

Método das Duas Fases É um procedimento que busca zerar as Variáveis Artificiais: x a FASE I: 1 1x a = (Min) s.a. A x + x a = b x, x a 0 Resolver um problema artificial pelo SIMPLEX. Se o valor ótimo deste problema for = 0 (isto é, x a = 0) então a solução ótima correspondente é uma solução básica factível inicial do problema original. OBS.: 1) Se o valor ótimo de é positivo (x a 0) o problema original não tem solução factível. 2) A solução do problema acima pode ter x a = 0, mas possuir alguma variável artificial na base com valor zero (solução degenerada) FASE II: De posse da solução básica factível achada na Fase I, aplica-se o método SIMPLEX no problema original.

Exemplo do Método das Duas Fases x 6 + x 7 = (Min) s.a. x 1 + x 2 - x 3 + x 6 = 2 -x 1 + x 2 - x 4 + x 7 = 1 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Base Factível óbvia I = {6,7,5}, então coloca-se o PL na forma preparada em relação a base I - 2x 2 + x 3 + x 4 = - 3 (Min) s.a. x 1 + x 2 - x 3 + x 6 = 2 -x 1 + x 2 - x 4 + x 7 = 1 x 2 + x 5 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Obs.: Agora basta zerar os coeficientes das variáveis artificiais na função objetivo.

Exemplo do Método das Duas Fases Colocando em forma de quadro e aplicando o simplex tem-se: I = {6,7,5} I = {6,2,5} I = {1,2,5} Fim da Fase I = 0 e x 6 e x 7 = 0

Exemplo do Método das Duas Fases - FASE II Substituindo no quadro a função objetivo artificial pela função objetivo original e abandonando as variáveis artificiais tem-se: I = {1,2,5} Colocando o PL na forma preparada relativa a base I = {1,2,5} tem-se: Agora o problema real é de Maximização I = {1,2,5}

Exemplo do Método das Duas Fases - FASE II I = {4,2,5} I = {4,2,3} Solução Ótima x 1 = x 5 = 0 x 4 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Interpretação Geométrica da Solução do Método SIMPLEX - Fase I e Fase II Solução Ótima x 1 = x 5 = 0 x 4 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 x2x2 x1x1 X 3 = 0 X 5 = 0 X 1 = 0 X 2 = 0 X 4 = 0 C Iterações da Fase I Iterações da Fase II

Método SIMPLEX - Fase I e Fase II Observações Finais 1) Ao final da Fase I ainda há variáveis artificiais na base em nível zero. Tentar substituir (por pivoteamento) as variáveis básicas artificiais pelas não-básicas legítimas. - Se for possível, então Base Legítima Factível (vai para Fase II) - caso contrário, então redundância 2) A função objetivo original pode ser acrescentada ao quadro da Fase I e sofrer os pivoteamentos, então pode-se iniciar automaticamente a Fase II 3) Outros métodos para encontrar uma base factível inicial - Método do M-Grande (Big-M) - Método da Variável Artificial Única