Determinantes Conceito Representação Propriedades Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Calcular determinantes pelo desenvolvimento de Laplace. Inverter Matrizes. Conceito Representação Propriedades Desenvolvimento de Laplace Matriz Adjunta e Matriz Inversa

Histórico: 250 aC – China Sec XVII – Início no Ocidente Leibniz (1646-1716) Cramer (1704-1752) – Regra de Cramer (1750) Sec XIX – Início do Estudo Sistemático Tratado de Cauchy em 1812 Seguido por Jacobi Conceito: O conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se útil para caracterizar situações como uma matriz inversível, se um sistema admite ou não solução.

Dada a matriz quadrada Matriz Quadrada Amxm= a22 a21 a23 .......a24 a12 a11 a13 .......a14 am2 am1 am3 .......amm . =[aij]mxm Escreve-se det A ou |A| ou det [aij] det [a] = a - determinante de uma matriz 1x1

Propriedades: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz são nulos então det A=0. Det A = det A´. Multiplicando-se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por este valor. Uma vez trocada a posição de duas linhas (ou colunas), o determinante troca de sinal. Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) iguais o determinante é nulo. Em geral det (A+B) ≠ det A + det B O determinante não se altera se somarmos uma linha a outra multiplicada por uma constante. Exemplo: 8. det (A.B) = det A . det B

Desenvolvimento de Laplace: Dada uma matriz A de ordem 3

Portanto o determinante da matriz Amxn pode ser calculado como: ...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace Foi retirada a i-ésima linha e j-ésima coluna. Pode-se definir o cofator correspondente como: Determinante afetado pelo sinal da submatriz Aij obtida retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. É chamado de cofator ou complemento algébrico do elemento aij, Generalizando, Para uma determinada linha i o determinante pode ser calculado: Portanto o determinante da matriz Amxn pode ser calculado como: O cálculo do determinante utilizando o desenvolvimento de Laplace vale para a escolha de qualquer linha ou coluna, calculando-se os cofatores correspondentes aos elementos aij e somando-se, conforme indicado na equação.

...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento de Laplace 1 2 -1 -2 3 1 -1 2 = 1 2 -1 -2 - (-2) 1 2 -1 -2 +3 = 1 (2-1) +2 (4-2) + 3 (-2+2) = 1+4 = 5 Exemplo2: Calculando o determinante da matriz acima utilizando-se a propriedade 7 1 2 -1 -2 3 1 2 -1 -2 3 1 -2 = = 1 = 1 (1+4) = 5 2 1 L3=1.L2+L3

Exemplo3: Calcule o determinante da matriz: ...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace Exemplo3: Calcule o determinante da matriz: -1 2 3 -4 -5 2 3 -4 -5 3 -4 -10 -4 L1=L1+L2 4 2 2 = = 2 = 2 = -1 2 -5 -3 -5 -3 -3 -5 2 -3 -8 3 1 -13 1 L3=L3+L2 2 5 3 1 -8 5 3 1 C1=C1+(-2)C2 -10 -4 = 2.(-3) = -6 (-10-52) = -6 (-62) = 372 -13 1

Matriz Adjunta e Matriz Inversa: Dada a matriz A. Cujo cofatores são: A Matriz dos cofatores é dada por: Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora Exemplo: 2 1 A= -3 1 4 1 6 5 Os cofatores são: 1 4 -3 4 -3 1 D11=(-1)1+1 = -19 D12=(-1)1+2 = 19 D13=(-1)1+3 = -19 6 5 1 5 1 6 1 2 2 1 D21=(-1)2+1 = -5 D22=(-1)2+2 = 10 D23=(-1)2+3 = -11 6 5 1 5 1 6 1 2 2 1 D31=(-1)3+1 = 4 D32=(-1)3+2 = -8 D33=(-1)3+3 = 5 1 4 -3 4 -3 1

Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora 4 -8 5 .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa -19 19 -19 -5 10 -11 Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora 4 -8 5 Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz cofatora. -19 -5 4 19 10 -8 -19 -11 5 Calculando-se o produto da matriz A com a sua adjunta: -19 1 -19 = -19 1 Matriz Identidade -19 1 Calculando-se |A|: A partir dos resultados acima tem-se: Como: Conclui-se que: Matriz Inversa

Exemplo: dada: Determine A-1 Calcule AA-1 a) 2 3 A= 1 4 4 -3 4 -1 -3 .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa Exemplo: dada: Determine A-1 Calcule AA-1 a) 2 3 A= 1 4 4 -3 4 -1 -3 -1 2 2 D11=(-1)1+1 4 = 4 D12=(-1)1+2 1 = -1 D21=(-1)2+1 3 = -3 D22=(-1)2+2 2 = 2 b) 2 3 1 4 Há diversas outras formas de se determinar a matriz inversa, mas este exercício será deixado como pesquisa para o aluno.

(A.B)(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1= AA-1 = I. .......................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz Inversa Observações Finais: Sendo A e B inversíveis, então A.B é inversível e (AB)-1=B-1A-1 (A.B)(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1= AA-1 = I. Analogamente: (B-1A-1)(AB)=I 2) Se A é matriz quadrada e existe B tal que BA=I então A é inversível, ou seja A-1 existe e além disso, B=A-1. 3) Nem toda matriz possui a inversa.

P E R G U N T A S ?