Autor: José António Fernandes de Freitas Trigonometria Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011 Autor: José António Fernandes de Freitas

Aplicações da Trigonometria A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem o seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além do seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenómenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da trigonometria

Distâncias dentro do sistema solar Distância de planetas inferiores Quando o planeta inferior (tem a sua órbita menor que a da terra) em máxima elongação (emax), o ângulo entre a Terra e o Sol, na posição do planeta, será 90º. Então, nessa situação Sol, Terra e planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta ao sol será:

Distância de planetas superiores Considerando o triângulo formado pelo sol, Terra e planeta (SE’P’), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da terra é 90º, e o ângulo formado entre a Terra e o planeta é α. Então a distância entre o Sol e o planeta será:

Determinação do raio lunar Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas utilizando a lei do seno: substituindo, , o que deduz a fórmula:

Determinação da altura de casas, montanhas, torres, …

Análise e estudo da frequência cardíaca. A variação da pressão sanguínea (em mm HG) de uma pessoa, em função do tempo (em s), é uma função trigonométrica cuja lei é dada por:

Fenómenos periódicos Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Nós chamamos um fenómeno de periódico quando este fenómeno se repete após certo intervalo de tempo (período). Se um fenómeno é sabidamente periódico, podemos prever com relativa facilidade o que ocorre em momentos não observados.

Alguns exemplos de fenómenos periódicos

Movimento das marés

Ciclo menstrual da mulher

As fases da Lua

Movimento de um pêndulo

Ciclo dia e noite (rotação da Terra)

Função Seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x ϵ IR, o seno do ângulo x, definido pelo número real sen(x). A função é definida por f(x) = sen(x) ou y = sen(x) Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função seno ao intervalo [0, 2π]. O traçado representado na figura anterior corresponde a uma volta no círculo trigonométrico, de 0 a 2π. Continuando a dar voltas no círculo, no sentido positivo ou no sentido negativo, obtém-se o gráfico da função seno, que pode ser visto como uma sucessão repetitiva da curva anteriormente apresentada.

A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função seno, um pouco mais «estendida» no seu domínio. O gráfico da função seno é uma curva que se designa por sinusóide. Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha orientada.

Transformações no gráfico da função seno A periodicidade das funções trigonométricas permite que estas sejam frequentemente utilizadas para definir modelos matemáticos que ajudam à compreensão de inúmeros fenómenos periódicos, tais como: marés, fases da lua, ondas sonoras, órbitas de satélites, etc. Um modelo muito utilizado para este tipo de fenómenos é definido por f(x) = a.sen(bx + m) + k, onde os parâmetros reais a, b e m são, em vários contextos, designados como amplitude, frequência e desfasamento, respectivamente.

Sugere-se uma pequena investigação sobre esta família de funções. Partindo da função seno e recorrendo ao Geogebra, estude a influência de cada parâmetro no comportamento da função, nomeadamente em relação ao período, contradomínio, zeros e extremos. Situação 1: Consideremos a função cuja expressão é dada por y = f1 (x) = sen(x) + k, onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Situação 2: Ainda podemos pensar numa função seno que seja dada pela expressão y = f2 (x) = a.sen(x), onde a é uma constante real, a ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante a no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Situação 3: Consideremos agora uma função seno que seja dada pela expressão y = f3 (x) = sen(x + m), onde m é uma constante real, m ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante m no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Situação 4: Consideremos agora uma função seno que seja dada pela expressão y = f4 (x) = sen(bx), onde b é uma constante real, b ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante b no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?” Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Agora que já estudou o efeito de cada parâmetro separadamente, chegou o momento de os colocar a todos em ação. O gráfico da função f(x), representado a negro, foi gerado aleatoriamente. O seu desafio é encontrar os valores dos coeficientes a, b, c e d da função g(x) (a vermelho) de modo que o gráfico desta função seja igual ao gráfico de f(x). Para resolver o desafio clique aqui.

Função Cosseno

A função cosseno é a correspondência unívoca que associa a cada número real x o valor do cosseno de x, tal como definido no círculo trigonométrico. Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função cosseno ao intervalo [0, 2π].

A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função cosseno, um pouco mais «estendida» no seu domínio. O gráfico da função cosseno é o transformado do gráfico da função seno pela translação horizontal associada ao vetor (-π/2 ; 0). Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 14, 15, 16 e 17 da ficha orientada.

Função Tangente

A função tangente é a correspondência unívoca que associa a cada número real x, que não pertença a {x ϵ IR : x = (π/2) + k π, k ϵ Z}, o valor da tangente de x, tal como definido no círculo trigonométrico. Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a tangente está definida.

A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função tangente, um pouco mais «estendida» no seu domínio. Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 20, 21, 22 e 23 da ficha orientada.

Observe, agora, como as funções trigonométricas também podem representar figuras interessantes. Figura 1 – clique aqui. Figura 2 – clique aqui. Figura 3 – clique aqui. FIM

Ficha técnica Autor da atividade : José António Fernandes de Freitas Licença da atividade: Creative Commons da Casa das Ciências