Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Aula 24 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Polares Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.
Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas
Coordenadas Cilíndricas Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.
Coordenadas Cilíndricas
Conversão Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos
Exemplo 1 (a) Marque o ponto com coordenadas cilíndricas e encontre suas coordenadas retangulares. (b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto em coordendas retangulares
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Retangulares Logo, o ponto em coordenadas retangulares é
Coordenadas cilíndricas (b) Logo, o ponto em coordenadas cilíndricas é
Utilidade das Coordenadas Cilíndricas Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.
Exemplo
Exemplo 2 Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é Solução: A equação diz que o valor de ou altura, de cada ponto da superfície é o mesmo que a distância do ponto ao eixo Como não aparece, ele pode variar. Assim, qualquer corte horizontal no plano é um círculo de raio
Exemplo 2
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas
Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas onde
Exemplo 3 Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima do parabolóide (veja a figura). A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
Exemplo 3
Exemplo 3 Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever Função densidade
Exemplo 3
Exemplo 4 Calcule
Exemplo 4 Projeção de sobre o plano é o disco
Região descrita em coordenadas cilíndricas
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