Aula 4- Medidas de Posição ESTATÍSTICA Aula 4- Medidas de Posição Prof. Dra. Denise Candal

Conteúdo Programático desta aula Medidas de Posição: Média Mediana Moda Quartis

Concentração de Valores Em uma distribuição, podemos identificar tendências com relação a maior concentração de valores. Se esta concentração se localiza no inicio, meio ou fim, ou ainda se existe uma distribuição por igual.

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Coeficiente de Variação Medidas de Dispersão Medidas De Variabilidade Ou Dispersão Amplitude Total Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Assimetria As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente. O gráfico de uma distribuição de freqüência pode nos mostrar várias características da distribuição.

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Medida de Curtose Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição com relação a uma distribuição padrão, dita normal.

Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe

A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 12 litros. Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe

Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos. Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos. Número de Meninos fi 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios.

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Elementos Típicos da Distribuição Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis Medidas de tendência central são aquelas nas quais os dados observados tendem a se agrupar em torno dos valores centrais. Tais medidas são utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados.

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Média: Dados não Agrupados Média aritmética simples Valores da variável Número de valores

Desvio em relação a Média Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .

Exemplo 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a produção média da semana. Determine também o desvio em relação a média dos valores dados.

Exemplo 1: Vaca

Média: Dados Agrupados Frequências indicam a intensidade de cada variável: funcionam como fatores de ponderação (média aritmética ponderada). Média Ponderada: é a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.

Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe Variável da i-ésima classe Frequência absoluta da i-ésima classe

Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe Dados organizados em distribuição de freqüência Ponto médio da i-ésima classe Frequência absoluta da i-ésima classe

Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine a média aritmética ponderada da distribuição. Número de meninos f i 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

Exemplo 2: Filhos Média ? Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34 ∑= Média ?

Exemplo 2: Filhos Média Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12 1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Média

Exemplo 2: Filhos Média Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12 1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Média

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 Exemplo 3: Alturas ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios. Determine a média das alturas.

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 ∑=

No Excel

No Excel

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 ∑=

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 total 40 ∑=

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Moda O valor da variável que aparece em maior frequência em uma série de valores.

Moda: Dados não Agrupados Um conjunto de dados pode ter: Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor aparece mais vezes que outros. Uma moda (unimodal) Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais valores de concentração.

Moda: Dados não Agrupados O valor da variável de maior frequência Exercício 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a moda.

Moda: Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe O valor da variável de maior frequência Exercicio 2: Filhos Moda? Número de meninos f i 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

Moda: Dados Agrupados Com Intervalo de Classe Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia. Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.

Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo.

Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78

Exemplo 2: Filhos Moda= 3 Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Classe Modal Moda= 3

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440 Exercício 3: Alturas

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 Exemplo 3: Alturas ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440 Moda= 160

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

Mediana A mediana é um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes iguais. Dado um conjunto ordenado de valores, mediana é o o valor situado de tal maneira que este valor separa o conjunto em dois subconjuntos com mesmo numero de elementos.

Mediana – Dados não Agrupados para n ímpar: o termo de ordem para n par: a media aritmética dos termos de ordem e

Exemplo 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 10 12 13 14 15 16 18 1 2 3 4 5 6 7 mediana

Mediana – Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe Valor da variável correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências.

Exemplo 2: Filhos Moda=? Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34 Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?

Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos de Classe determinar as frequências acumuladas calcular identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a empregar a formula:

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total ∑=40 identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis A mediana, além de representar uma série de valores com relação a posição central, separa a série de valores em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

Medidas de Posição Média de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As separatrizes não são medidas de tendência central, mas têm a ver com a segunda característica da mediana. As separatrizes são medidas que se baseiam em sua posição na série. mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.

Fractis Números que dividem um conjunto ordenado de dados em partes iguais. A mediana é um fractil, pois divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais. Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis, que dividem o conjunto de dados respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais.

Quartis Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais. 0% 25% 50% 75% 100% Q1 Q2=Md Q3

Quartis (Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele. (Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md) (Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.

Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

Primeiro Quartil Segundo Quartil Terceiro Quartil

Decil Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que separam uma série de dados em 10 partes iguais. Observação: P5=Md Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do percentil.

Percentil Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que separam uma série de dados em 100 partes iguais. Observação: P50=Md P25=Q1 P75=Q3 Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do percentil.

Mediana Quartis Percentis

Exemplo 4: Dados não agrupados Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

Exemplo 4: Dados não agrupados { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 } Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2. Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores. Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o quartil 3

Exemplo 5: Dados não agrupados Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }

Exemplo 5: Dados não agrupados { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 } A série ordenada. Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5 Quartil 1 = mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 } Q1 = (2+3)/2 = 2,5 Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 } Q3 = (9+9)/2 = 9

Exemplo 6: Dados Agrupados ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios. Determine os quartis.

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total ∑=40 Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007 (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

0% 25% 50% 75% 100% ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40 0% 25% 50% 75% 100% Q1 152,57 Q2=Md 160,54 Q3 165

Exercícios

Exercício 1: Peso dos Bebês FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.

Exercício 1: Peso dos Bebês Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

Exercício 1: Peso dos Bebês Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

Exercício 1: Peso dos Bebês Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

Exercício 1: Peso dos Bebês FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total Com intervalo de classe Média? Ponto Médio?

Exercício 1: Peso dos Bebês Com intervalo de classe Média? Ponto Médio? PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total ∑=100

Exercício 1: Peso dos Bebês Com intervalo de classe Média? Ponto Médio? PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 Total ∑=100

Exercício 1: Peso dos Bebês fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

Exercício 1: Peso dos Bebês Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

Exercício 1: Peso dos Bebês Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

Exercício 1: Peso dos Bebês Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

Exercício 1: Peso dos Bebês Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a a mediana será o limite superior da classe correspondente.

Exercício 1: Peso dos Bebês Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 total ∑=56 classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe mediana classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe mediana

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe Q1

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe Q3

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 12 22 32 42 52 72 330 640 420 260 total ∑=56 ∑=1722 Média

Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 12 22 32 42 52 72 330 640 420 260 total ∑=56 ∑=1722 Moda

Exercício 3: Salários Professores Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda. K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880

Exercício 3: Salários Professores Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda. K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880

Exercício 3: Salários Professores K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Mediana

Exercício 3: Salários Professores K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Q1

Exercício 3: Salários Professores K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Q3