Métodos para determinação de validade de fórmulas Lógica Proposicional Métodos para determinação de validade de fórmulas

Métodos para determinação de validade de fórmulas Tabela verdade Árvore semântica Método da negação ou absurdo

Conseqüência Lógica B é conseqüência lógica de A se toda valorização v que satisfaz A também satisfaz B B pode ser satisfeito por valores que não satisfazem A Podemos usar: A implica logicamente em B

Conseqüência Lógica Se eu ganhar na loteria, serei rico. Eu ganhei na Loteria. Logo, sou rico. G = Ganhar na loteria R = Ser rico G R G  R (G  R)^G V V V V V F F F F V V F F F V F

Tabelas-verdade Método exaustivo Criar uma valorização para cada subfórumla Descobrir se é válida(tautologia)/satisfazível/ intetisfazível(contraditória)/falsificavél

Tabelas-verdade Tabelas verdade associada a fórmulas Como fazer para obter a tabela verdade associada à fórmula H=((P)vQ)(Q^P)? Colunas intermediárias: P,Q,P, PvQ e Q^P

Tabelas-verdade Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Negação Conjunção

Tabelas-verdade Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Disjunção Condicional

Tabelas-verdade Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Bi-Condicional

Árvore 1 2 3 4 5 Nós - números Raiz – 1 Folhas – 2,6,7,8 6 7 8

Método da árvore semântica Usa a estrutura de árvore para determinar a validade de uma fórmula Determinar: (PQ) ((Q)(P))

Método da árvore semântica H=(PQ) ((Q)(P)) T T T FT Nó 3: FT T T TF 1 I[P]=T I[P]=F 2 3 T

Método da árvore semântica 1 Nó 4: H=(PQ) ((Q)(P)) T T T T FT T FT Nó 5: TF F T TF T FT I[P]=T I[P]=F 1 2 3 I[Q]=T I[Q]=F T 4 5 T T

Método da negação ou absurdo Para provar que H é uma tautologia Supõe-se inicialmente, por absurdo que H NÃO é uma tautologia As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Portanto, a suposição inicial é falsa e: H é uma tautologia (A não-validade de H é um absurdo)

Exemplo do método da negação ou absurdo Lei da transitividade: ((P  Q)^(Q  R)) (P  R) Por absurdo: F I[(P  Q)^(Q  R) ]=T e I[(P  R)]=F T T T F T F F

Exemplo do método da negação ou absurdo (cont.) ((P  Q)^(Q  R)) (P  R) T T T F T F F T T T T F F T F F T T T T F T F F T F F   Portanto: F não pode existir! Então, sempre T (tautologia!)

Aplicações do método da negação ou absurdo Fórmulas com o conectivo  Só existe uma possibilidade de absurdo I[Antecedente]=T e I[Conseqüente]=F Fórmulas com o conectivo ^ Também 1 só forma: I[A]=T e I[B]=T

Ausência de absurdo Se uma asserção é negada, mas o absurdo não aparece, Nada se pode concluir sobre a veracidade da asserção Exemplo: (PQ) ((P)(Q)) Por absurdo: F Possibilidade 1: T F F Possibilidade 2: F F T

Exemplo de Ausência de absurdo Exemplo: H= (PQ) ((P)(Q)) Possibilidade 1: T F F F T T F TF F FT Possibilidade 2: F F T T F F F FT F TF Não se pode concluir que H é tautologia Se I[P]=F e I[Q]=T, então I[H]=F

Exercício do método de negação ou absurdo H=(P^Q) ((PvQ)) é tautologia? Só se H levar a absurdo em TODAS as possibilidades