SEMÂNTICA

Roteiro Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.

Revisão O que é lógica? Começou com Aristóteles Argumeto Estudo do raciocínio Começou com Aristóteles Argumeto Proposições e premissas Consequência Lógica

Revisão

Revisão Objetivo: descobrir se o argumento é válido Argumento dedutivo Conclusão a partir das premissas Indutivo Probabilidade

Revisão Alfabeto – Lógica Proposicional Símbolos de pontuação: ( ) , Símbolos de verdade: true, false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v,^,  , 

Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu significado Existe um mundo sintático e um mundo semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas (consideradas apenas como concatenções de símbolos) Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

[Gaiarsa]

Semântica P (símbolo sintático) representa “Está chovendo” Q representa “A rua está molhada” Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

Interpretação Depende das condições climáticas e se a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q]) A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quando I[P]=T e I[Q]= T Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q, I[P^Q]=F

Interpretação Função binária – só possui em sua imagem 2 elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional, é uma função binária t;l que: O domínio de I é o conjunto de fórmulas proposicionais A imagem é o conjunto {T,F} O valor da interpretação I, tendo como argumentos os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T,F}

Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo proposicional, I[E]=I[P] Se H é uma fórmula e E=H, então I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T

Interpretação de fórmulas (cont.) Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]=  I[G]

Interpretação de uma fórmula Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T I[H] = True

Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = ((P)^Q)(RvP1) e H=(EP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F I[H]=? True J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F J[H]=? False

Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T H é factível ou satisfazível se existe uma interpretação I tal que I[H]=T H é contraditória ou insatisfazível se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F H é Falsificável se existe uma interpretação I tal que I[H]=F

Propriedades semânticas básicas (cont.) Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T Dadas 2 fórmulas H e G,HG para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T Dadas H e G,HG para toda interpretação I ser satisfazível, I[H]=I[G]

Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia, pois toda I[H]=T I[H]=T DI[PvP]=T D I[P]=T e/ou I[P]=T D I[P]=T e/ou I[P]=F (D aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)

Exemplo de Satisfatibilidade A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira. H é tautologia? Por quê?

Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista I[H]=T I[H]=T D I[P^P]=T D I[P]=T e I[P]=T D I[P]=T e I[P]=F

Exercícios Quais das fórmulas abaixo são tautologias, satisfazíveis ou contraditórias? H1=P1^P2^QQ Tautologia H2=P1^P2^QQ Satisfatível H3=(PvP)(Q^Q) Contraditória

Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ) E G? E H? H G? H E?

Exercício Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H  G Se H=F, G=? Tabela Verdade Se I[H] = T

Equivalência Exemplo (Lei de Morgan) H=(P^Q) e G=(PvQ) Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G] Casos I[H]=T e I[H]=F

(P^Q)  (PvQ) ? Caso I[H]=T I[H]=T D I[P^Q]=T D I[P]=T e I[Q]=T D I[P]=F e I[Q]=F D I[PvQ]=F D I[(PvQ)]=T D I[G]=T D I[H]=T D I[H]=I[G] Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas

Equivalência Exemplos: P  P (eliminação da dupla negação) P  Q  P V Q (definição de  em termos de  e V) (P V Q)  P ^ Q (Lei de Morgan 1) (P ^ Q)  P V Q (Lei de Morgan 2) P ^ (Q V R)  (P ^ Q) V(P ^ R)

Relações entre as Propriedades Semânticas Validade e factibilidade H é válida D H é contraditória H é válida a H é satisfazível (a quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível D H é contraditória

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.) Dadas 2 fórmulas H e G, H implica G D (H  G) é tautologia H equivale a G D (H  G) é tautologia Provar que (H  G) e (G  H) Transitividade da equivalência E  H e H  G a E  G

Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.) Satisfabilidade Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de fórmulas {H1,H2,...Hn} é satisfatível D {H1^H2^...^Hn} é satisfatível

Equivalências D aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e a quer dizer “se … então …” Cuidado: Há uma diferença entre eles: H equivale a G D {H é tautologia D G é tautologia}? (1) H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia}? (2)

Equivalência e Validade H equivale a G D {H é tautologia D G é tautologia} (1) é dividida em 2 implicações: H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2) e {H é tautologia D G é tautologia} a H equivale a G (3)

Contra-exemplo de Equivalência e Validade {H é tautologia D G é tautologia} a H equivale a G (3) H=P e G=Q, que não são equivalentes “H equivale a G” é falsa No entanto, o antecedente é verdadeiro H e G não são tautologias (Falso D Falso) a Falso Verdadeiro a Falso, o que é falso

Proposições Equivalência e Validade Implicação e Validade Proposição 1: H equivale a G a{H é tautologia D G é tautologia} Implicação e Validade Proposição 2: H implica a G a{H é tautologia aG é tautologia } Proposição 3: {{H implica G} e {H é tautologia}} a{G é tautologia}

Proposição 1 – Equivalência e Validade H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2) Prova do tipo prop3 aprop2 e prop2 aprop1 Passos: prop2, prop2 aprop1 [1] prop3, prop3 aprop2 [2] Portanto, prop3, [3] prop3 aprop2, prop2 aprop1

Proposição 2 – Implicação e Validade H implica a G a {H é tautologia aG é tautologia}(4) Pode ser reescrito como: G implica a H a {G é tautologia aH é tautologia} (5) Portanto, H equivale a G a {H é tautologia D G é tautologia} (2) E prop2 aprop1

Lema (implicação) (A (B C)) equivale a ((A^B)  C) H equivale a G a Olhar tabelas verdade H equivale a G a {H é tautologia aG é tautologia}(4) é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a {{H implica G} e {H é tautologia}} a {G é tautologia} prop3 aprop2

Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então {{H implica G} e {H é tautologia}} a{G é tautologia} Supondo {H implica G} e {H é tautologia} Para {G é tautologia} ser verdade, então {G é tautologia} D toda I[G]=T

Proposição 3 – Implicação e Validade (cont.) {G é tautologia} D toda I[G]=T Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T Como {H implica G}, então toda I[G]=T {G é tautologia}