Lógicas e Inferência para IA

Métodos para determinação de validade de fórmulas Lógica Métodos para determinação de validade de fórmulas

Métodos para determinação de validade de fórmulas Tabela verdade Métodos de dedução Método da negação ou absurdo

Método da negação ou absurdo (cont.) Para provar que H é uma tautologia Supõe-se inicialmente, por absurdo que H NÃO é uma tautologia As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Portanto, a suposição inicial é falsa e: H é uma tautologia (A não-validade de H é um absurdo)

Lógica de Predicados Dedução Natural

Conseqüência lógica Definição informal: Definição formal: Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

Notação de Conseqüência Lógica e Teorema Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H

Cálculo Proposicional ou de Predicados Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

Sistema de dedução natural Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

Regras de inferência de dedução natural Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos e quantificadores, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

Regras de inferência - conjunção Introdução da conjunção (^I): H G -> derivação H^G Eliminação da conjunção (^E): H^G H^G H G

Prova Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses) Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b A última fórmula da derivação é H

Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R P ^ Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa) Q^R (^I) Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

Regras da Dedução Natural - implicação Eliminação da implicação - modus ponens (E) H H  G G Introdução da implicação (I) [H] (hipótese eliminada) | G . H  G

Exemplo de eliminação da implicação P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

Exemplo de introdução da implicação ├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados depois [P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E) (PQ)Q) (I) (P ((PQ)Q) (I)

Exercício ├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

Exercícios 1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P 2. {P  (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P  Q), P} |- Q

Regras da Dedução Natural - disjunção Introdução da disjunção (vI) H G . HvG HvG Eliminação da disjunção (vE) [H] [G] (hipóteses) D1 D2 HvG E E E

Exemplo de Eliminação da disjunção {PvQ,Q,P} |- false PvQ . [P] P (prem.) [Q] Q (prem.) false false false

Regras da Dedução Natural - negação De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa [H] (I) [H] (E ou RAA) | | false false reductio ad H H absurdum Exercícios: HH e H H

Exercício Mostre que o seguintes argumento é válido: Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

Solução Identificando as Sentenças: Formalizando: P: as premissas deste argumento são verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido. Formalizando: {(S ^ V)  P, P, V} ├ S

Exercício Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

Quando tudo o mais falhar EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! Note que esta regra NÃO SUPÕE E NEM ELIMINA nada!! false H

Prova de EFQ {P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false Q (E)

Exemplo Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P  Q, P} |= Q {P  (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q)  (R ^ S), P, Q} |= S {AB, C(DvE), DC, AE} |= (C  B) {Cv(B  A), A  R, (B  R)  S} |= (C  S)

Lógicas clássicas Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista = Lógica minimal U EFQ

Regras de inferência - equivalência Introdução da equivalência ( I): H G GH HG Eliminação da equivalência ( E): HG HG HG GH

Dedução Natural A diferença básica da Lógica de Predicados para a Proposicional é que as contradições têm de ser em cima de instâncias As instâncias normalmente têm de ser geradas a partir de fórmulas quantificadas Quando fazer isso?

Ocorrência livre e ligada Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é Ligada, se x está no escopo de um quantificador (x) ou (x) em E Livre, se não for ligada G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1))

Variável livre e ligada Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas de x em E Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de x em E No exemplo anterior, z é livre e ligada!

Regras da dedução natural – quantificador universal Eliminação do quantificador universal (E) x H(x), se a é livre para x em H H(a) Introdução do quantificador universal (I) H(a) . x H(x) se x não ocorre livre em nenhuma das premissas das quais H(x) depende

Explicando I Papel reservado aos nomes arbitrários, algo que no cotidiano usamos Uma forma abreviada de dizer : “Todos os portugueses gostam de boa conversa” é dizer «O Zé-povinho gosta de boa conversa» «Zé-povinho» refere-se a qualquer português, arbitrariamente Contudo, é necessário garantir que o nome seja arbitrário, pois se for um nome próprio a inferência é inválida! Não se pode concluir que todos os portugueses gostam de boa conversa só porque o Joaquim gosta de boa conversa.

Exemplo 1 x ((x)  (x))  x (x)  x (x) [x ((x)  (x))] (sup.) (x) (x) ( E) x(x) x (x) (I) x(x)  x (x) (I) x ((x)  (x))  x (x)  x (x) (I)

Exemplo 2 x(  (x))  (  x(x)) se x não ocorre livre em . [x ( (x))](sup.) [](sup.) (  (x)) (E) (x) (E) x (x) (I) (  x (x)) (I ) x(  (x))  (  x (x)) (I )

Regras da dedução natural – quantificador existencial Eliminação do quantificador existencial (E)  x H(x), se a é livre para x em H H(a) Introdução do quantificador existencial (I) [H(a)] (hipótese) | x H(x) E E x não ocorre livre em nenhuma das premissas usadas na derivação acima do travessão e nem E

Exemplo (x ((x)  ))  (x   ) se x não ocorre livre em . [(x)] ((x)  ) E  E  E x    I  (x((x)  ) ) (x   )) I 

Regras da dedução natural – identidade Eliminação da identidade (=E) t=u H(t) H(u) Introdução da identidade (=I) n=n x=y P(x)P(y)

Exemplo x=y(z P(x,z) z P(y,z) ) [x=y] [z P(x,z)] P(x,z) E P(x,z) P(y,z) I= P(x,z)P(y,z) E P(y,z) E z P(y,z) I (z P(x,z) z P(y,z) ) I x=y(z P(x,z) z P(y,z) ) I

Lógica Sistema Axiomático

Sistema axiomático Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência) Normalmente só Modus Ponens Um conjunto de axiomas Subconjunto de fórmulas Existem vários!!

Exemplo Ax1= A(BA) Ax2= (A(BC)  ((AB)(AC)) Ax3= (A B)((AB)A) Ax4= x H(x) H(a) Ax5= (x A B(x))(A x B(x)), se x não é livre em H

Exemplo de prova PP (P((PP)P))  ((P(PP))(PP)) Ax2 com A=P, B=PP, C=P P((PP)P), Ax1 (P(PP))(PP), Modus Ponens (P(PP)), Ax1 com A=P, B=P PP, Modus Ponens

Um sistema axiomático estranhíssimo... Regra de inferência: A A ^ (B ^C) C Ax1: (A^(B^C))^((A^(C^ A)) ^((C^B)^((A^C)^(A^C)))) Conclusão: Sistemas axiomáticos são complicados de usar e de entender as provas!!