MÉTODOS ESTATÍSTICOS APLICADOS AO SEGURO AGRÍCOLA Copyright Vitor Ozaki 2006

Outline 1 Problemas no mercado de seguro agrícola 2 Complexa precificação 3 Tendência e heteroscedasticia 4 Modelagem Estatística 5 Cálculo Atuarial 6 Metodologias Atuariais 6.1 O modelos Gaussiano 6.2 Mistura finita de distribuições 6.3 Modelo temporal 6.4 Modelo espacial 6.5 Modelo espaço-temporal 7 Resultados 8 Conclusões

Problemas no mercado de seguro agrícola RISCO MORAL As seguradoras são incapazes de monitorar perfeitamente os segurados; Produtores podem mudar suas práticas culturais após a contratação do seguro; O seguro subvencionado resulta em aumento do risco? Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola Erros na precificação? Implicações para a SELEÇÃO ADVERSA Se a seguradora precificar com base no risco médio dos produtores, então ocorrem duas situações: a seguradora irá cobrar um prêmio maior do que aquele que os produtores de baixo risco estarão dispostos a pagar; e, a seguradora estará cobrando um prêmio menor do que aquele que os produtores de alto risco estarão dispostos a pagar. Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola Conseqüentemente, os produtores de baixo risco serão desencorajados a comprar o seguro, restando apenas aqueles com maior risco; As indenizações aumentam resultando em perdas para a seguradora; Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola RISCO SISTÊMICO Para o mercado segurador a ocorrência de tais eventos catastróficos dificulta sobremaneira a continuidade das seguradoras no ramo de atividade; No caso agrícola, esses eventos apresentam elevada severidade, e sua ocorrência atinge não apenas uma propriedade rurais mas milhares de propriedades em uma grande extensão territorial. Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola Por esse motivo diz-se que o risco é altamente correlacionado; Esse fato viola um dos princípios básicos do mercado de seguros: as unidades expostas devem ser homogêneas e independentes; Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola Como lidar com isso? Resseguro (O mercado consegue assimilar?); Constituir reservas; Resseguro governamental; Para a seguradora, constituir reservas e ressegurar suas operações podem não ser o suficiente para suportar um evento catastrófico; Copyright Vitor Ozaki 2006

Problemas no mercado de seguro agrícola Complexa precificação; Alta exposição catastrófica; Alto custo de fiscalização e peritagem; Graves problemas de fraudes; Severa antiseletividade; Inexperiência e falta de profissionais especializados no ramo; Ausência de normatização; Falta de dados estatísticos; Copyright Vitor Ozaki 2006

Complexa Precificação A metodologia deve levar em conta diversas idiossincrasias presentes nos dados de produtividade agrícola: Dificuldades de ordem amostral Neste caso o tamanho das séries históricas de produtividade* é relativamente pequeno, impossibilitando a detecção de qualquer tipo de padrão e a aplicação dos testes estatísticos convencionais; Copyright Vitor Ozaki 2006

Complexa Precificação Problemas de correlação espacial Decorre do fato de que propriedades (municípios) mais próximas apresentam maior dependência espacial em relação a propriedades (municípios) mais afastadas; Copyright Vitor Ozaki 2006

Complexa Precificação Existem versões alternativas do Teorema do Limite Central, para processos espaciais, que suportam a suposição de normalidade; A suposição de normalidade é aceitável quando a dependência espacial se reduz rapidamente quando a distância aumenta (Guyon, 1995); Copyright Vitor Ozaki 2006

Complexa Precificação Correlação serial Quando a produtividade em anos anteriores está correlacionada com a produtividade no ano atual; Presença de tendência A produtividade observada em 1980, por exemplo, não pode ser comparada com a produtividade observada em 2004; Copyright Vitor Ozaki 2006

Complexa Precificação Heteroscedasticidade Situação em que os dados apresentam variabilidade não constante. Todos estes fatores dificultam sobremaneira a análise dos dados; Ignorá-los podem levar a resultados completamente equivocados. Copyright Vitor Ozaki 2006

Tendência e Heteroscedasticidade O problema é que o processo gerador dos dados de produtividade não é constante, mas varia com o tempo; O nível da produtividade agrícola muda com o passar do tempo; A próxima figura ilustra as peculiaridades supramencionadas; Copyright Vitor Ozaki 2006

Tendência e Heteroscedasticidade Copyright Vitor Ozaki 2006

Tendência e Heteroscedasticidade Se os desvios da tendência são proporcionais ao nível da produtividade agrícola então a suposição de coeficiente de variação constante é suportada; Nesse caso, erros proporcionais εt serão calculados dividindo o termo de erro ut pelo seu respectivo valor predito; Copyright Vitor Ozaki 2006

Tendência e Heteroscedasticidade Os valores resultantes serão homoscedásticos (Goodwin e Ker, 1998). Para expressar a produtividade em termos da tecnologia de 2005 multiplicar (1 + erros proporcionais) pela produtividade observada em 2005 resultando em produtividades normalizadas yn. Copyright Vitor Ozaki 2006

Tendência e Heteroscedasticidade Por outro lado, se os erros forem não proporcionais ao nível da produtividade (coeficiente de variação não-constante); Então a produtividade normalizada será calculada somando o termo de erro à produtividade observada em 2005; Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola A modelagem estatística de dados de produtividade agrícola tem sido um ponto bastante controverso; Diversas abordagens têm sido consideradas: Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Métodos Semiparamétricos (Ker and Coble, 2003); Modelos Não-paramétricos (Goodwin and Ker, 1998; Turvey and Zhao, 1999; Ozaki, 2005); and, Bayes Empírico não-paramétrico (Ker and Goodwin, 2000). Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Dentro da abordagem paramétrica, diversos autores concluem que a produtividade agrícola segue uma distribuição Normal (Just and Weninger, 1999); Entretanto, outros pesquisadores encontraram evidências contra a Normalidade (Day, 1965; Taylor, 1990; Ramirez, 1997; and, Ramirez et al., 2003); Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelagem estatística dos dados de produtividade agrícola Outras abordagens incluem : A distribuição Beta (Nelson and Preckel, 1989); Transformações Seno Hiperbólico Inverso (Moss and Shonkwiler, 1993), and; Distribuições Gamma (Gallagher, 1987). Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Antes de abordar a metodologia atuarial é interessante explorar os componentes da taxa de prêmio; Sabe-se que: Prêmio = (taxa de prêmio) x (responsabilidade) custo esperadoda perda Taxa de prêmio custos adicionais = + responsabilidade Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Ainda: indenização custo da perda = responsabilidade custos adicionais custo admin. fundo de catástrofe = reservas + + + retornos indenização custo da perda = responsabilidade Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Custo esperado da perda Geralmente, para longas séries de dados, o custo histórico da perda é usado como estimativa para o custo esperado da perda; Exemplo: $30 milhões em indenizações para cada $100 milhões em responsabilidade → custo esperado da perda = 0.3; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Para riscos catast. (seca) a variância ao redor de 3% seria alta e, provavelmente, assimétrica para a direita; Caso a seca ocorra, o custo da perda é alto; Caso a seca não ocorra, o custo da perda é baixo; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Reservas As reservas financeiras são necessárias caso as indenizações superem os prêmios recolhidos em dado ano; Quanto maior a variância ao redor do custo esperado da perda, maior a necessidade de se constituir reservas; Consequentemente, para cobrir riscos considerados catast., essas reservas serão maiores do que riscos não-catastróficos; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Fundo de catástrofe Essa reserva deve ser adicionada à taxa quando os eventos são considerados correlacionados; Nesse contexto, o custo da perda pode não representar precisamente as perdas futuras; Eventos de baixa-frequência, alta-severidade podem ser subestimados ou superestimados; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Retorno ao investimento Quanto mais variável o retorno ao investimento, maior deverá ser a taxa média de retorno demandado pelo investidor (seguradora); Consequentemente, as seguradoras requerem uma taxa de retorno maior para os ramos de seguro de alta variabilidade, tais como, o seguro agrícola; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Correlações positivas entre unidades seguradas reduzem consideravelmente as propriedades de agregação vitais para o seguro; As seguradoras são forçadas a aumentar suas reservas e constituir um fundo catastrófico; Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Os custos administrativos são relativamente maiores e há a exigência de elevado retorno do investimento; Todos esses fatores aumentam a taxa de prêmio no seguro agrícola; Copyright Vitor Ozaki 2006

A taxa de prêmio pura do seguro agrícola será dado por: Cálculo Atuarial A taxa de prêmio pura do seguro agrícola será dado por: Em que: E é o operador de esperança e F a distribuição cumulativa da produtividade. O prêmio do seguro é obtido multiplicando-se a taxa de prêmio pelo valor segurado. Copyright Vitor Ozaki 2006

Cálculo Atuarial Alguns parâmetros de interesse: Produtividade esperada; Variância (risco) da produtividade; e, Distribuição de probabilidade da produtividade. E (perda) = Pr (perda) x E (perda|perda ocorreu) Taxa de prêmio = E (perda) / produtividade garantida Copyright Vitor Ozaki 2006

Metodologias Atuariais Método empírico 2. Análise paramétrica clássica Distribuição Gaussiana e Beta; 3. Abordagem Não-paramétrica Kernel Estimator ; 4. Modelos Bayesianos Copyright Vitor Ozaki 2006

1. Método Empírico Usualmente, utiliza-se o método empírico para precificar contratos de seguro; Esse método consiste em dividir a perda média sobre a responsabilidade, resultando em taxas empíricas; Copyright Vitor Ozaki 2006

1. Método Empírico Desvantagens: Para refletir precisamente o custo da perda é necessário séries históricas longas; Mesmo se existissem tais séries, para o seguro agrícola seria difícil captar perdas catastróficas com grande precisão; Este método não leva em consideração nenhuma análise estatística; Copyright Vitor Ozaki 2006

2. Análise Paramétrica Clássica Ajuste através das Distribuições: Gaussiana Beta Com parâmetros estimados pelo método da máxima verossimilhança. Copyright Vitor Ozaki 2006

2. Análise Paramétrica Clássica produtividade Copyright Vitor Ozaki 2006

2. Análise Paramétrica Clássica produtividade Copyright Vitor Ozaki 2006

2. Análise Paramétrica Clássica Copyright Vitor Ozaki 2006

3. Abordagem Não-paramétrica O estimador kernel da densidade f(y) pode ser representada como uma convolução da distribuição amostral, utilizando-se uma função kernel K, representada por: Em que K h (v) = 1/hK(v/h) and Fn(v) é a função de distribuição amostral. Copyright Vitor Ozaki 2006

3. Abordagem Não-paramétrica O estimador kernel é a soma de “saltos” (bumps) localizados em cada observação. A função kernel determina a forma destes saltos e a janela sua largura; Quanto maior o valor da janela, maior o alisamento da série (os detalhes tendem a desaparecer); O inverso também é válido, quanto menor o valor da janela, os saltos terão uma forma de pico, tornando mais pronunciado os detalhes na densidade; Copyright Vitor Ozaki 2006

3. Abordagem Não-paramétrica Seja A, B e C vizinhos ao municípios D. O seguinte esquema aumenta o número de observações em cada série: D,A,D,B,D,C,D Em outras palavras, D terá peso 4/7, e o resto (A,B,C) 1/7. Copyright Vitor Ozaki 2006

3. Abordagem Não-paramétrica De modo geral, os pesos serão iguais a: Município central = (N +1) / (2N + 1) Municípios vizinhos = 1 / (2N + 1) Em que N é o número de municípios vizinhos. Copyright Vitor Ozaki 2006

3. Abordagem Não-paramétrica Copyright Vitor Ozaki 2006

4. Modelos Bayesianos A abordagem Bayesiana assume inicialmente que as observações são condicionalmente independentes dado os parâmetros do modelo; e, Em em segundo estágio, a dependência é incorporada através da atribuição de distribuições à priori aos parâmetros. Copyright Vitor Ozaki 2006

4. Modelos Bayesianos A estrutura hierárquica do modelo permite incorporar de maneira relativamente simples e intuitiva o efeito espacial, o efeito temporal e permite a interação destes dois efeitos, resultando em modelos espaço-temporais; Pode-se por aninhar o efeito espacial dentro do efeito temporal (permitindo assim, examinar os padrões do efeito espacial no tempo); Copyright Vitor Ozaki 2006

4. Modelos Bayesianos Considerando a média como sendo idêntica a E(yit), onde i representa o indexador da variável espacial e t a variável temporal, tal que i = 1, 2, ... ,S, t = 1, 2 , ..., T e yit será a produtividade no município i no tempo t; Copyright Vitor Ozaki 2006

4. Modelos Bayesianos O objetivo então será modelar o parâmetro de média, tal que capte as covariáveis,o efeito temporal, a variação espacial da produtividade agrícola e o efeito espaço-temporal; Diversos modelos podem ser explorados; Trataremos apenas de alguns: Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições A média μit foi suposta ser proveniente de duas subpopulações ou grupos: um grupo catastrófico e outro não-catastrófico; Entende-se por catastrófico o evento climático que venha a ocorrer em determinado ano, tal como seca, excesso de chuva, granizo, etc. Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Desta forma, caso venha a ocorrer um evento climático adverso, a produtividade agrícola será considerada proveniente do grupo catastrófico; Caso contrário, considera-se a produtividade como do grupo não-catastrófico; Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Caso ocorra um evento climático adverso, a produtividade será proveniente do grupo catastrófico; Caso contrário, a produtividade será designada ao grupo não-catastrófico; Assim, pode-se pensar na produtidade como proveniente de uma mistura finita de duas distribuições; Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Isso porque eventos catastróficos podem ser considerados muito menos frequentes e a produtividade observada, nestes anos ser muito inferior a de anos regulares (normais); Sendo assim, espera-se que o primeiro grupo tenha massa menor comparado ao segundo grupo e tal concentração se situe na calda inferior da primeira. Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições O modelo misto geral pode ser descrito como: Em que θj é o vetor de parâmetros, j é o número de componentes, tal que j = 1, 2, ... , J. e γj o parâmetro representando a proporção da população atribuída ao componente j. Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições No caso em que f (y | · ) representa uma distribuição gaussiana, a eq. (1) pode ser escrita como: Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Alternativamente pode ser introduzido uma variável indicadora não observada que identifica qual componente cada observação é designada; Esta variável indicadora I recebe valores iguais a i quando y é sorteada do j-ésimo componente; Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Deste modo, equivalentemente, o modelo misto em pode ser representado como: Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições Uma distribuição à priori categórica foi atribuída à I; Copyright Vitor Ozaki 2006

4.1 Mistura de distribuições A priori conjugada será a distribuição Dirichlet, com hiper-parâmetro α; Copyright Vitor Ozaki 2006

4.2 Os Modelos Temporais Modelos de tendência determinística Modelos de tendência estocástica Modelos determinísticos e estocásticos Copyright Vitor Ozaki 2006

4.3 Os Modelos Espaciais A variável espacial Φi pode ser designada como Φi = ξi + vi, em que: vi é denominada variável latente não-estruturada espacialmente (heterogeneidade) e, ξi a variável latente estruturada ou correlacionada espacialmente (clustering). Copyright Vitor Ozaki 2006

4.3 Os Modelos Espaciais A variável não-estruturada segue uma distribuição Normal, de modo que e a variável estrutura espacialmente ξi condicional a ξj , onde j ≠ i, é modelada de modo que onde é a média dos ξi’s e i pertence as áreas adjancentes. Copyright Vitor Ozaki 2006

4.3 Os Modelos Espaciais Copyright Vitor Ozaki 2006

4.4 Os Modelos Espaço-Temporais Copyright Vitor Ozaki 2006

4.4 Os Modelos Espaço-Temporais Copyright Vitor Ozaki 2006

4.4 Os Modelos Espaço-Temporais No modelo a variável espacial está aninhada ao efeito temporal (permitindo checar a variação espacial no tempo); Geralmente, utiliza-se o algoritmo MCMC para estimar os parâmetros do modelo; Após a estimação deve-se checar a convergência e mistura de todos os parâmetros; Copyright Vitor Ozaki 2006

5 Seleção de Modelos Trabalhando no espaço de preditivas, a penalidade surge sem a necessidade de definições assintóticas; Intuitivamente, pode-se dizer que bons modelos devem realizar predições próximas ao que foi observado em experimentos idênticos.

5 Seleção de Modelos O objetivo é minimizar a perda preditiva a posteriori, denominada erro predito quadrático; A distribuição preditiva à posteriori, é mostrado abaixo:

5 Seleção de Modelos Em que M representa o conjunto de todos os parâmetros em certo modelo e ynew é a réplica do vetor de dados observados yobs. O objetivo é escolher aquele que minimiza a esperança da função de discrepância, condicional a yobs e Mi, onde o subscrito i representa todos os parâmetros em determinado modelo i.

5 Seleção de Modelos Para modelos gaussianos, a função de discrepância e Dm, respectivamente, é dada por:

5 Seleção de Modelos Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelo Bayesiano: Copyright Vitor Ozaki 2006

Derivação da Taxa de Prêmio Copyright Vitor Ozaki 2006

Modelo Gráfico Copyright Vitor Ozaki 2006

Resultados dos modelos Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – soja Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – soja Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – trigo Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – trigo Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – milho Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – Método NP Copyright Vitor Ozaki 2006

Taxas de prêmio – Método Bayesiano Copyright Vitor Ozaki 2006

6 Abordagem Bayesiana Under the Bayesian approach spatial and temporal dependence can be modeled as part of the model; Premium rates can be determined directly through the MCMC simulation; Thus, uncertainty is taking into account when calculating rates; Insurance companies must consider all the special features of the agriculture when pricing a crop insurance contract;

Implicações para as seguradoras Copyright Vitor Ozaki 2006

Implicações para as seguradoras Implicações na prática: 90% da produtividade esperada assegurada; Responsabilidade média segurada em uma carteira composta por 1 mil produtores: R$ 1 mi; Taxa de prêmio (método empírico): 1,30% O prêmio médio será igual a: R$ 13.000 Taxa de prêmio (método paramétrico):3,11% O prêmio médio será igual a: R$ 31.100 Perda média no prêmio: R$ 18.100 PERDAS TOTAIS: R$ 18,1 milhões Copyright Vitor Ozaki 2006

Obrigado! Copyright Vitor Ozaki 2006