Gerência Financeira das Reservas Técnicas Fonteira Eficiente

Definição É o segmento, na linha de combinação, constituído por todas as carteiras de investimentos atraentes para um investidor racional, ou seja, aquele que avalia a relação risco/retorno em suas decisões. De outro modo, na fronteira eficiente, é possível selecionar uma carteira que apresenta, para um dado nível de risco, o maior retorno possível. As alternativas de investimento que atendem a essa orientação foram denominadas por Markowitz de eficientes. A escolha da melhor carteira é determinada pela postura do investidor em relação ao dilema risco/retorno presente na avaliação de investimentos.

Exemplo Considere uma carteira composta por duas ações A e B com os seguintes dados: Retorno esperado dos retornos da ação A: 20% Retorno esperado dos retornos da ação B: 12% Desvio-padrão dos retornos da ação A: 36% Desvio-padrão dos retornos da ação B: 22% Correlação entre os retornos das ações A e B: 0,20

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Quando temos mais de dois ativos, podemos formar carteiras com combinações de apenas 1 ativo, de 2 ativos, ..., de (n-1) ativos e de n ativos. Para cada uma delas, pode-se ainda alocar diferentes proporções, de modo que teremos uma infinidade de carteiras possíveis. Neste caso, a fronteira eficiente será descrita pelo segmento MN a seguir:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos * * M * N Desvio-padrão dos retornos Retorno esperado

Considerações para carteiras com mais de dois ativos As preferências de dois investidores A e B diante de carteiras dispostas na fronteira eficiente são dadas por suas respectivas curvas de indiferença. As curvas de indiferença refletem as diferentes posturas perante o risco.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos * * M * N Desvio-padrão dos retornos Retorno esperado Investidor B Investidor A

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Neste exemplo, diante do mesmo conjunto de oportunidades, o investidor A seleciona uma carteira de ativos de menor risco que B. Assim, como A tem maior aversão ao risco, o retorno prometido para A é menor que o esperado por B.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Na prática, o cálculo da fronteira eficiente neste caso é realizado por meio de softwares financeiros. Podemos obter uma carteira da fronteira eficiente para um dado retorno esperado por meio dos seguintes métodos: Multiplicadores de Lagrange Solver (excel)

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Para o exemplo abaixo, calcule o risco da carteira da fronteira eficiente sabendo que a taxa de retorno esperada para esta carteira é de 6%: Estados da natureza Probabilidade Ação A Ação B Ação C Favorável 0,25 12,59% 17,23% 18,22% Estável 0,50 0,38% 1,04% 4,60% Desfavorável -8,66% -11,57% -13,18%

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange Função objetivo (função a ser minimizada) Restrições Substituindo por , vem:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange Logo, temos: Devemos derivar as funções f e g em relação às variáveis X1 e X2:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange Assim, para minimizar f, devemos resolver o sistema abaixo:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange Achando os valores para o exemplo:

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Multiplicadores de Lagrange Montando o sistema sujeito à restrição de uma taxa de retorno de 6% e resolvendo-o, temos: A variância da carteira é 0,0076 e o risco (desvio-padrão), 8,7%

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver No campo “Definir célula de destino”, escolher a célula onde consta a fórmula a ser minimizada. No campo “Células variáveis”, escolher as células onde constam as posições investidas em cada ativo (W1 e W2). No campo de restriçoes, deve-se colocar a restrição inicial do problema que era de o retorno esperado ser 6%.

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Solver Para estes valores, foi encontrado: W1 3,97   W2 -7,34 W3 4,37 retorno da carteira 0,059999984 0,06 variância da carteira 0,007625247

Considerações para carteiras com mais de dois ativos Podemos ainda resolver este problema utilizando a restrição sem venda a descoberto, o que implica que cada Wi deve ser maior ou igual a zero. Neste caso, uma solução analítica é mais complexa, pois precisaremos de programação matemática para resolução do problema. Para este mesmo problema, utilize a ferramenta solver do excel com estas restrições.