Aula 1: Escoamento sobre Corpos Esbeltos AED-27: Aerodinâmica Supersônica Aula 1: Escoamento sobre Corpos Esbeltos Renato Medeiros Vitor Kleine Valéria Faillace

AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos Sumário Equação do potencial Solução axissimétrica Corpos esbeltos gerais Forças transversais em corpos esbeltos AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos Equação do Potencial A forma geral da equação do potencial é: 𝛻 2 𝜙− 1 𝑎 2 𝜕 2 Φ 𝜕 𝑡 2 + 𝜕 𝜕𝑡 𝑄 2 +𝑸⋅𝛁 𝑄 2 2 =0 Para escoamentos axissimétricos estacionários: 𝑎 2 − Φ 𝑥 2 Φ 𝑥𝑥 + 𝑎 2 − Φ 𝑟 2 Φ 𝑟𝑟 + 𝑎 2 𝑟 Φ 𝑟 −2 Φ 𝑥 Φ 𝑟 Φ 𝑥𝑟 =0 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Solução axissimétrica Expansão em pequeno parâmetro ϵ 𝑟= 𝑟 ⋅𝜖 Soluções externa e interna para o potencial: Φ o = 𝑈 ∞ 𝑥+𝜖 Φ 1 o 𝑥,𝑟 + 𝜖 2 Φ 2 o 𝑥,𝑟 +… Φ i = 𝑈 ∞ 𝑥+𝜖 Φ 1 i 𝑥, 𝑟 + 𝜖 2 Φ 2 i 𝑥, 𝑟 +… AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Solução axissimétrica Equação linearizada interna: Φ 2 𝑟 𝑟 𝑖 + 1 𝑟 Φ 2 𝑟 𝑖 =0 Condição de contorno: Φ 2 𝑟 𝑖 𝑥, 𝑅 = 𝑑 𝑅 𝑑𝑥 = 𝑅 ′ 𝑥 Solução: Φ 2 𝑖 = 𝑅 𝑅 ′ ln 𝑟 + 𝑔 2 𝑥 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Solução axissimétrica Equação linearizada externa: 1− 𝑀 ∞ 2 𝜙 𝑥𝑥 + 1 𝑟 𝜙 𝑟 + 𝜙 𝑟𝑟 =0, com 𝜙= 𝜖 2 Φ 2 𝑜 Sujeita à condição : lim r→0 2𝜋𝑟 𝜙 𝑟 = 𝑆 ′ 𝑥 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Solução axissimétrica Solução fonte no regime supersônico: 𝜙 𝑆 =− 1 2𝜋 1 𝑥 2 − 𝑀 2 −1 𝑟 2 No caso, a intensidade das fontes distribuídas é: 𝑓= 𝑆 ′ 𝑥 Solução: 𝜙≅ 𝑆 ′ 𝑥 2𝜋 ln 𝑟 + 𝑆 ′ 𝑥 2𝜋 ln 𝛽 2𝑥 − 1 2𝜋 0 𝑥 𝑆 ′′ 𝑥 1 ln 𝑥− 𝑥 1 𝑑 𝑥 1 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Solução axissimétrica Exemplo experimental da comparação entre a teoria de corpos esbeltos e medições experimentais na região transônica. Fonte: Ashley e Landahl (1965) AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Corpos esbeltos gerais Solução interna: Φ 𝑖 = 𝑈 ∞ 𝑥+ 𝜖 2 Φ 2 𝑖 𝑥, 𝑦 , 𝑧 +… Linearização da equação do potencial: Φ 2 𝑦 𝑦 𝑖 + Φ 2 𝑧 𝑧 𝑖 =0 Com a condição de tangência no corpo: Φ 2 𝑛 𝑖 = 𝑑 𝑛 𝑑𝑥 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Corpos esbeltos gerais A informação mais importante: “Nas proximidades do corpo, o escoamento pode ser representado como sendo bidimensional na seção transversal”. Mas a área da seção varia, então a condição de contorno não é a mesma de escoamento estácionário! AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Corpos esbeltos gerais Pode ser mostrado que, longe do corpo (solução externa), a solução é igual à de um corpo de axissimétrico com área equivalente. 𝜙≅ 1 2𝜋 𝑆 ′ 𝑥 ln 𝑟 +𝑔 𝑥 Aproximação para Cp, se necessário: 𝐶 𝑝 ≅−2 𝜙 𝑥 − 𝜙 𝑦 2 − 𝜙 𝑧 2 (inclui termos de segunda ordem) AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos Ilustração do movimento nas fatias ao longo do corpo: Mudança de referencial: 𝑥 1 =𝑥− 𝑈 ∞ 𝑡, 𝑦 1 =𝑦, 𝑧 1 =𝑧 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos Em cada seção, pode ser entendido que o movimento do corpo bidimensional está associado a um momento ξ. 𝑑𝑭 𝑑 𝑥 1 = 𝑑𝝃 𝑑𝑡 Associando ao movimento do corpo, temos: 𝑑𝝃 𝑑𝑡 = 𝑈 ∞ 𝑑𝝃 𝑑𝑥 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos A força de sustentação pode ser calculada por: 𝑭= 𝑛𝑎𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑈 ∞ 𝑑𝝃 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑈 ∞ 𝝃 𝑠𝑎í𝑑𝑎 Uma fórmula para o momento linear é: 𝝃=− 𝜌 ∞ 𝑈 ∞ 𝜙 1 𝒏 𝑑𝑠 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos Exemplo de um cilindro em escoamento não-estacionário: 𝜙 1 =− 𝑐 2 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝝃=− 𝑉𝜌 ∞ 𝜋 c 2 “Massa aparente” AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos No caso do escoamento transversal com velocidade 𝑈 ∞ ⋅𝛼, a força sobre um corpo que termina com seção circular é: 𝐿= 𝜌 ∞ 𝑈 ∞ 2 𝜋 𝑅 2 𝛼 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos O conceito de massa aparente pode ser estendido a outras formas: 𝑚 𝑎𝑠𝑎 = 𝜌 ∞ 𝑈 ∞ 𝜋 𝑠 2 𝑚 𝑎𝑠𝑎&𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜌 ∞ 𝑈 ∞ 𝜋 𝑠 2 − 𝑅 2 + 𝑅 4 𝑠 2 AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos

Forças transversais em corpos esbeltos Da mesma forma como foi calculada a sustentação, podem ser calculados os momentos em corpos esbeltos. Agora, com a ferramenta DATCOM, vamos verificar as condições em que nossas previsões podem ser aplicadas. AED-27: Aerodinâmica Supersônica Corpos Esbeltos