BCC101 – Matemática Discreta Lecture 11 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/7/2017 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por contradição

Mais estratégias de prova CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Mais estratégias de prova Teorema: Se a e b são números inteiros, então a2 – 4b ≠ 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema?

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Prova por contradição Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição.

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Prova por contradição Teorema: se a,b ∈ Z então a2-4b≠2 Prova: Suponha, por contradição, que a2-4b=2. Então a2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a2 é par Portanto, a é par, ou seja, a = 2k, p/ algum k∈ Z. Substituindo a por 2k na equação acima: (2k)2 = 2(1+2b) => 4k2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2k2 = 1+2b => 1 = 2b – 2k2 = 2(b-k2) Como b,k ∈ Z, isso significa que 1 é par- absurdo! Portanto a2-4b≠2.

Prova por contradição – outro exemplo CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Prova por contradição – outro exemplo Um número real x é racional se x=a/b, para algum a∈Z e b∈Z, b≠0 x é irracional, se ele não é racional. Teorema: √2 é um número irracional Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema?

CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Teorema: √2 é um número irracional Prova: Suponha, por contradição, que √2 é racional, isto é, √2 =a/b, para a,b∈Z, b≠0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Temos: (a/b)2=(√2)2=2 ⇒ a2=2b2, ou seja a2 é par Portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k∈Z. Então b2=a2/2=(2k)2/2=2k2, ou seja, b2 é par Portanto, b é par. Mas isso contradiz o fato de que a e b são primos entre si. Portanto, concluimos que √2 é irracional

Prova por contradição - outro exemplo CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma 4/7/2017 Prova por contradição - outro exemplo Teorema: O conjunto dos números primos é infinito. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Como pode ser expressa a negação dessa conclusão? Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão?

Exercícios Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional Prove que o conjunto dos números pares é infinito Sejam a e b inteiros. Então a2-4b≠2