parábola, elipse e Hipérbole SEÇÕES CÔNICAS parábola, elipse e Hipérbole Geometria analítica e álgebra linear ME. Gilcimar Bermond Ruezzene

SEÇÕES CÔNICAS

APLICAÇÕES ELIPSE SAÚDE; ACÚSTICA; ASTRONOMIA;

APLICAÇÕES PARÁBOLA ANTENAS PARABÓLICAS; FAROIS DE VEÍCULOS; FORNOS SOLARES; TELESCÓPIOS;  PONTES SUSPENSAS;

APLICAÇÕES HIPÉRBOLE TELESCÓPIO; ARQUITETURA; TORRES DE REFRIGERAÇÃO DE USINAS NUCLEARES; NAVEGAÇÃO DE LONGA DISTÂNCIA;

PARÁBOLA Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais.

PARÁBOLA Obteremos uma equação particularmente simples para uma parábola se colocarmos o vértice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x.

PARÁBOLA 2º CASO 1º CASO

PARÁBOLA 4º CASO 3º CASO

exemplos Nos exemplos 1 e 2 encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico. 1) x² = 8y 2) x = 2y²

ELIPSE Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é uma constante. Esses dois pontos são chamados focos.

ELIPSE Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses, com o Sol em um dos focos.

EIXO MAIOR da elipse sobre x Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é dito eixo maior.  

ELIPSE Para encontrar as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y2 = b2. ou seja, y = ± b. Observe que, se os focos coincidirem, então c = 0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b.

eixo maior da elipse sobre y Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em (0, ± c), então podemos encontrar sua equação trocando x e y.  

ELIPSE  

EXEMPLOs  

HIPÉRBOLE Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: vértices: os pontos A1 e A2 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c

Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Equações ELEMENTOS semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: eixo real: eixo imaginário: Excentricidade         Chamamos de excentricidade o número real e tal que:     Como c > a, temos e > 1.  Equações    Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

HIPÉRBOLE Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse. A única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato, a dedução da equação de uma hipérbole é também similar àquela dada anteriormente para uma elipse.

EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO X  

HIPÉRBOLE Observe que: As interseções com o eixo x são novamente ± a. Os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices da hipérbole.

RAMOS Portanto, temos x ≥ a ou x ≤ –a Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.

ASSÍNTOTAS Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas assíntotas, que são as retas y = (b/a)x e y = –(b/a)x.

HIPÉRBOLE Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação.

EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y  

HIPÉRBOLE Veja a ilustração

EXEMPLOs 1) Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x2 – 16y2 = 144 e esboce seu gráfico. 2) Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ±1) e assíntota y = 2x.

eXEMPLO