Funções Reais: Caminhos e Descaminhos Wanderley Moura Rezende Departamento de Matemática Aplicada IM – UFF wanderley.rezende@gmail.com, wmrezende@superig.com.br

O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica, USP/2003 Origem – Mapeamento das dificuldades de aprendizagem de natureza epistemológica variabilidade permanência sistematização construção infinito finito discreto contínuo global local

emersão das idéias do Cálculo no ensino básico de Matemática Lugar Matriz - omissão/“evitação” das idéias básicas e dos problemas construtores do Cálculo no ensino de Matemática em sentido amplo O lugar-matriz e o ens. básico de Matemática emersão das idéias do Cálculo no ensino básico de Matemática Ensino básico em três vias

O Projeto Uma Proposta de Natureza Didática de Emersão das Idéias Fundamentais e dos Problemas Construtores do Cálculo no Ensino Básico de Matemática Objetivos: construir mapas que possibilitem explicitar as idéias do Cálculo que se encontram escondidas no processo didático do ensino básico de matemática; elaborar uma proposta de natureza didática de emersão das idéias fundamentais e dos problemas construtores do Cálculo no ensino básico de matemática

Etapa 1 - mapeamento das idéias e dos problemas construtores do Cálculo que se encontram camuflados no ensino básico de matemática Três linhas diretrizes: problema da variabilidade (funções reais) monografias de Leila Botelho e Sandro Sá problema geométrico da medida (áreas e volumes de corpos redondos) monografia de José Carlos Gaspar problema aritmético da medida (número real) monografia de Joice Camargo dos Santos

Introdução Caraça (1989): o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Rezende (2006): Saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação.

Objetivo Reflexão sobre o ensino de funções reais na educação básica, tendo como referência o seu caminho histórico de construção e os descaminhos de natureza pedagógica e epistemológica. Sierpinska (1987), Cabral (1998), (Rezende, 2003b), Botelho (2005) e Souza Sá (2005) entre outros.

A Origem Histórica Conceito de função // conceito de variável O uso de símbolos na matemática: álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214-284/298); álgebra hindu... Viète (1540-1603) - fez uso, em seus trabalhos de “uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados”

A noção de movimento e a noção de infinito Primeiro rompimento com o pensamento aristotélico: Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (1300-1349): ciência experimental - as verdades científicas deveriam, necessariamente, ser obtidas através da experiência. Rompimento definitivo: Galileu (1564-1642) (...) o espaço percorrido por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer este espaço.

Filósofos escolásticos - “matematização” do conceito de função Representação duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico. O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) ...

Geometria Analítica e Cálculo Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665): Geometria Analítica Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716): Cálculo Infinitesimal O conceito de função “evoluiu” (...) sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo, enquanto relação entre quantidades variáveis, para o âmbito da Teoria dos Conjuntos, como uma operação especial entre conjuntos (início do século XX).

Descaminhos Pedagógicos: Alguns Indicadores Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos do Cálculo. Problemas de taxas relacionadas e de otimização. Cabral (1998) quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica Os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns “O difícil mesmo é encontrar a função” Relação intrínseca entre o terceiro e o quarto nível

Botelho (2005) e Souza Sá (2005): Caminho natural para o estudo das funções reais seria caracterizá-las conforme a maneira que variam... Mas, será que este caminho é seguido na educação básica? Botelho (2005) e Souza Sá (2005): Predominância da representação algébrica injetividade/sobrejetividade x crescimento/decrescimento, ou quanto e como cresce/decresce zeros da função x pontos críticos da função Ausência de tópicos que analisem o comportamento da variabilidade e de exercícios de modelagem Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis” Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”

1G - Bianchini ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO ZERO DA FUNÇÃO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO INEQUAÇÕES CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DEFINIÇÃO ESTUDO DO SINAL ZERO DA FUNÇÃO TABELA DE VALORES ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

1G – Dante ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

2G - Machado ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO DEFINIÇÃO CONCAVIDADE PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO IMAGEM CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO TABELA DE VALORES VÉRTICE VALOR MÁXIMO E VALOR MINIMO RAÍZES E SINAIS DA FUNÇÃO INEQUAÇÕES EQUAÇÃO DO 2° GRAU DOMÍNIO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

2G - Dante ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO EIXO DE SIMETRIA Equação do 2° grau Imagem da Função COORDENADAS DO Vértice Valores Máximo e Mínimo Inequações Abertura da parábola INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE Tabela de valores Taxa de variação Gráfico no Plano Cartesiano Definição Concavidade EIXO DE SIMETRIA SINAL DA FUNÇÃO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

EXP - Smole ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO SITUAÇÕES PROBLEMA DEFINIÇÃO PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TABELA DE VALORES GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO EXPONENCIAL PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

EXP - Dante ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO PROPRIEDADES DA POTÊNCIA DEFINIÇÃO TABELA DE VALORES DOMÍNIO E IMAGEM FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO EXPONENCIAL INJETIVIDADE EQUAÇÃO EXPONENCIAL PROBLEMA INTRODUTÓRIO PROPRIEDADES DA POTÊNCIA GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

LOG - Smole OPERADOR LOGARITMO PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA TABELA DE VALORES FUNÇÃO INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO LOGARITMICA EQUAÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

LOG - Iezzi DEFINIÇÃO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO EQUAÇÃO LOGARÍTMICA INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS OPERADOR LOGARITMO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO

Algumas Considerações Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”? Precisamos recuperar os “escolásticos”...

Alguns Problemas

1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? Tempo (horas) 1 2 3 4 Espaço (km) 40 70 100 130 160

Algumas propriedades preliminares

s(t) = at +b Substituindo, temos: 40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 40 70 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30 Logo, s(t) = 30t + 40 Como estamos procuramos s(120), basta substituir: 120 = 30.t + 40 → t = 8/3 Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 20min.

Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s. 2) Um estudante anotou a posição de um móvel ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela: Tempo (s) 10 20 30 40 50 Posição (cm) 17 45 81 125 177 237 Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s.

Algumas propriedades preliminares

s(t) = at2 +bt + c Substituindo, temos: Resolvendo o sistema, temos: Logo,

Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35): Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30cm e no instante 35s era 150cm.

3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: º C º N 18º 0º 43º 100º Em que temperatura a água ferve na escala N?

t(c) = ac +b (???) Substituindo, temos: Logo, Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir: Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.

Quanto tempo de gravação resta na fita? 4) Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de seis horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados ao lado: Volta (n) Tempo (t) 100 555 200 1176 300 1863 400 2616 Quanto tempo de gravação resta na fita?

t(n) = an2 +bn + c Substituindo, temos: Resolvendo o sistema, temos:

Logo, Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja: O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s): 21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s

5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão 5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no ônibus. Determinar uma função que relacione o número de lugares vazios com a rentabilidade do dono do Ônibus.

6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética: 7 11 15 19 23 27... Estes números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Determine a função horária que descreve a posição deste objeto. (adaptado)

Algumas propriedades preliminares

Avaliação Final

Referências BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói. BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S. Paulo, 1974. BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications Inc., New York. CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. USP, São Paulo. CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa. LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. & MORGADO, A.C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro

KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v.1. Oxford University Press, de Oxford, Inglaterra.. REZENDE, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. USP, São Paulo. REZENDE, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. UFF, Niterói. RÜTHING, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), 72- 77. SIERPINSKA, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18. SOUZA SÁ, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós- gradução. UFF, Niterói.