Lógica matemática

NOÇÕES DE LÓGICA O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e melhor nos prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. Nossa introdução na lógica terá como objetivo principal a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, tem a conclusão também verdadeira. Premissa : “Todos os homens são mortais.” Premissa : “Os gregos são homens.” Conclusão : “Os gregos são mortais.” Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.

1ª premissa: O Sol é uma estrela. 2ª premissa: Toda estrela possui luz própria. Conclusão: O Sol possui luz própria. CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. A bola é redonda. A reta tem extremidade. O espaço é infinito. OBS.: Não usaremos sentenças INTERROGATIVAS ou EXCLAMATIVAS.

SÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . Exemplos:   A bola é redonda: p                      A reta tem extremidade : q CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. É falso que Joana não é graciosa ou Fátima é tímida. Joana é graciosa e Fátima não é tímida.

SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: A TABELAS VERDADE Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor lógico(verdade ou falsidade) das proposições compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as compõem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). p ~p V F 2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente as proposições são verdadeiras. p q p ۸ q V F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, as proposições são falsas. p q P ۷ q V F 4. Tabela verdade da "implicação” : a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. A proposição p → q = ~ q → ~ p p q p→ q V F

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos. p q P ↔ q V F Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula: p q ~ p V F V F F V V V F F F V V V V F F F V V F F

V ˄ V = V V ˅ F = V V ˅ F = V V ˅ F = V F ˄ F = F V ˄ F = F F ↔ F = V V ↔ F = F

a) V → F = F b) V ↔ V = V c) F → V = V f) V → (V ˄ F) = V → F = F d) (V ˅ F) ↔ V = V ↔ V = V e) V → (V → F) = V → F = F g) F ↔ F = V h) F ↔ F = V (F ˄ F) ˅ (F → V) = F ˅ V = V Para que p → (r ˅ s) seja falsa, é necessário que p seja (V) e (r ˅ s) seja (F). Logo, se (r ˅ s) é (F), então r é (F) e s também é (F). Para que (q ˄ ~ s) ↔ p seja verdadeira, é necessário que as duas tenha valores lógicos iguais. Como p já é (V), então (q ˄ ~ s) tem que ser (V). Logo, para (q ˄ ~ s) ser (V), os dois tem que ser (V), então q é (V). p = V, q = V, r = F e s = F

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc. Exemplo: a tabela - verdade da fórmula terá 8 linhas como segue : p q (p ۸ q) r V F V V V F F V F V F V F V F V F V

Proposição composta do tipo P(p, q, r)

Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)  A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores. Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn) A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

Exemplo  Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas proposições simples. Resolução: Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 22 = 4 linhas, logo: 

TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA Tautologia - A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o mesmo", mais logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes. É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Exemplo 1 A proposição p (~p) é uma tautologia. Vamos verificar através da tabela verdade. Exemplo 2 A proposição (p q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.  p q (p q) (p ↔ q) (p q) → (p ↔ q) V F

Contradição Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. Exemplo 1 A proposição p (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição. Exemplo 2 A proposição ~(p q) (p q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F. p q p q ~ (p q) ~ (p q) (p q ) V F

Contingência  Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada. Aliás, essa é muito grande. Não acham? Então vamos fazer somente a montagem da tabela. Ok?

QUANTIFICADORES Nas sentenças abertas (ORAÇÕES QUE CONTÊM VARIÁVEIS), existem duas maneiras de transformá-las em proposições: atribuir valor às variáveis utilizar QUANTIFICADORES Quantificador universal   É indicado pelo símbolo , que se lê: “qualquer que seja”, “para todo” ou “para cada”. Exemplos 1) p: ( x) (x + 1 = 7) = F 2) q: ( x) (x3 = 2x2) = F 3) r: ( x) (x2 + 1 > 0) = V

Quantificador existencial   É indicado pelo símbolo , que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” ou “existe um”. Exemplos 1) p: ( x) (x + 1 = 7) = V 2) q: ( x) (x3 = 2x2) = V 3) r: ( x) (x2 + 1 > 0) = V Algumas vezes utilizamos outro quantificador: , que se lê: “existe um único”, “existe somente um”. Exemplo 1) (x + 1 = 7) = V 2) ( x + 2 > 3) = F

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES Negação de uma conjunção ~ (p ˄ q) = ~ p ˅ ~ q Negação de uma disjunção ~ (p ˅ q) = ~ p ˄ ~ q Negação de uma implicação ~ (p → q) = p ˄ ~ q Negação de proposições quantificadas

NEGAÇÃO DE ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS