Aplicações da Gravitação R. Boczko IAG - USP 31 01 05

Lançamento vertical

Lançamento vertical (nas proximidades do solo) Plano de destino h = h0 + v0 . t + g . t2 / 2 v = v0 + g . t g g  - 9,8 m/s2 + g h h v0 t = ( v - v0 ) / g h = h - h0 Plano de lançamento h0 + v2 = v02 + 2 . g . h Plano de referência

Altura máxima no lançamento vertical hmáx = h0 + v0 . t + g . t2 / 2 v = 0 Plano de destino Altura máxima v = v0 + g . t 0 = v0 + g . t v = 0 v0 = - g . t h = hmáx - h0 Espaço percorrido g g  - 9,8 m/s2 h t = ( v - v0 ) / g Tempo de subida hmáx t = ( 0 - v0 ) / g t = - v0 / g v0 Plano de lançamento v2 = v02 + 2 . g . h 02 = v02 + 2 . g . h v02 = - 2 . g . h h0 + Plano de referência

Princípio da inércia de Galileu

Princípio da Inércia ( Galileu, 1564 - 1642 ) Um corpo abandonado tende a voltar à mesma altura da qual foi abandonado.

X Princípio da Inércia Um corpo, sobre o qual não age nenhuma força, tende a manter seu estado de movimento ou de repouso. X Força Movimento retilíneo uniforme V

Lançamento vertical desde uma plataforma móvel vH -v0 vH v vH - v vH v0 vH

Lançamento balístico

Lançamento balístico v=0 vH v vH - v vH -v0 vH v0 vH

Aceleração da gravidade é constante com a altura?

A aceleração da gravidade e a altura Será que no topo eu pesaria o mesmo que aqui em baixo?

A aceleração da gravidade e a altura h No topo de uma montanha Chão Bem alto Muito alto

Princípios da Mecânica Newton Princípios da Mecânica

Princípio da Inércia ( Newton, 1642- 1727 ) Qualquer corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme a menos que seja compelido a mudar seu estado por meio de uma força externa. X Força Movimento retilíneo uniforme V

Princípio fundamental da dinâmica g F g Força m A força agente sobre um corpo é proporcional à aceleração que o corpo adquire. F = m g

Princípio da ação e da reação A cada ação corresponde uma reação de mesma intensidade e de sentido oposto.

"Peso" de um corpo m g P g P Solo O peso de um corpo é proporcional à aceleração gravitacional que age sobre o corpo. P = m . g

Por que a Lua gira em volta da Terra?

Por que a maçã cai e a Lua não? Newton, a Lua e a maçã Por que a maçã cai e a Lua não?

Lua e Terra Velocidade Terra Lua

Gravitação universal

Lei da atração gravitacional M m F F d M,m = massas dos corpos envolvidos d = distância entre as massas F = força de atração gravitacional F = G M m / d2 G = constante universal da gravitação = 6,67x10-11 m3.kg-1.s-2

Aceleração gravitacional

Aceleração gravitacional M m F F d F = G M m / d2 Aceleração sobre o corpo M Aceleração sobre o corpo m gM = F / M gm = F / m gM = [G M m / d2] / M gm = [G M m / d2] / m gM = G m / d2 gm = G M / d2

Aceleração gravitacional em função da altura gm = G M / d2 gm = G M / d2 h d = R + h gm = G M / (R + h)2 Aceleração gravitacional na superfície da Terra R M h = 0 g0 = G M / (R + 0)2 Terra g0 = G M / R2

Aceleração gravitacional na superfície da Terra gm = G M / (R + h)2 h Aceleração gravitacional na superfície da Terra d = R + h h = 0 R g0 = G M / (R + 0)2 M g0 = G M / R2 Terra

Relacionar g numa dada altura com o g0 na superfície gm = G M / (R + h)2 g0 = G M / R2 g / g0 = R2 / (R + h)2 Dividindo membro a membro: g / g0 = [ R / (R + h) ]2

‘Forças’ agentes num corpo orbitando outro

Força Centrípeta Velocidade Fc

Força Centrípeta e força gravitacional Fc Velocidade C M m Quem exerce a força centrípeta? A atração gravitacional!

Força Centrípeta sobre a Lua Velocidade Terra Fc Lua

Acelerações atuantes sobre a Lua Velocidade Terra Fc Lua gg = GM/d2 gc = v2 / d Aceleração gravitacional Aceleração centrípeta

"Prova" da Lei da Gravitação Universal

Relacionar aceleração gravitacional e centrípeta agentes sobre a Lua gc = v2 / d gg = GM/d2 v =  . d  = 2 / T T = período de revolução da Lua em torno da Terra G = ? M = ? g0 = G M / R2 Na superfície da Terra gg / g0 = [ GM/d2 ] / [ G M / R2 ] v = d . 2 / T gg = g0 [ R / d ] 2 gc = (d . 2 / T)2 / d g0 = 9,8 m/s2 R = 6.378 km d = 384.000 km gc = 4 . 2. d / T2 T  27,3 dias gg = 0,0027 m/s2 gc = 0,0027 m/s2

Velocidade circular Velocidade gc = gg Terra Fc Lua v2 / d = GM/d2 gg = GM/d2 gc = v2 / d vcirc = GM/d g0 = G M / R2 vcirc = R g0 / d

Lançamento de foguetes

Tiro de Canhão Velocidade

Loooonnngo tiro de canhão! PN

Lançamento de foguetes vvertical = 0 Período desacelerado Lançamento de foguetes v vmáx Fim do combustível Período acelerado v v = 0

Lançamento de satélites vhorizontal vvertical = 0 v vmáx Fim do combustível v Lançamento de satélites v = 0

Formas das órbitas de corpos sujeitos à gravitação

Cônicas Superfície cônica Geratriz Superfície cônica Eixo

Secções Cônicas Reta Elipse Parábola Circunferência Ponto Hipérbole Geratriz Eixo Retas concorrentes

Trajetórias de um foguete Direção da velocidade de lançamento v Hiperbólica v > vparab Parabólica vparab = v = vparab =  2 vcirc Elíptica vcirc < v < vparab Circular v = vcirc Elíptica v < vcirc PN vc = GM/d

Aproveitando a rotação da Terra

V0bserv = Varrasto + Vbola Velocidade relativa Vbola Freios V0bserv = Vbola Vbola Varrasto V0bserv = Varrasto + Vbola

Impulso gratuito no foguete Vfoguete Varratro PN Velocidade de rotação da Terra no seu equador: Varratro  0,5 km/s

Velocidade de rotação da Terra j PN PS R r PN Vequador Vlatitude j No equador: v = w R v Numa latitude j: v = w R cos j j +90

Satélites artificiais da Terra

A Terra e sua atmosfera Atmosfera Raio = 6.378 km Altura da atmosfera PN Raio = 6.378 km Altura da atmosfera ~300 km

Órbitas de satélites Altura = 36.800 km Período = 23h56m Satélite geoestacionário Satélite de alta altitude 600 km Altura = 36.800 km Período = 23h56m Atmosfera 300 km Satélite de baixa altitude 400 km 6.378 km Satélite/sonda interplanetário(a)

Órbita equatorial ou polar Órbita inclinada Órbita polar

Estação Internacional

Órbita de transferência alta v2 = v’circ Órbita de transferência de mínima energia (transferência de Hohmann) v12 = velíptica v1 = vcirc v = 0 Órbita baixa PN PN

Viagem interplanetária Marte Qual o melhor caminho? Viagem interplanetária Terra

Isso não existe! Trajetória mais curta O caminho mais curto, caso os planetas permanecessem imóveis no momento da oposição.

Órbita mais curta, mas muito cara... Marte0 $$$$$$$$$$$$$$$$$ T0 M1 T1 O caminho mais curto exigiria uma velocidade extremamente elevada, para compensar a velocidade orbital da Terra.

Se combustível não fosse problema... $$$$$$$$$$$ T0 M1 T1 A trajetória de uma astronave, dotada de altíssima velocidade inicial, poderia ser coberta em apenas dois meses.

Viagem econômica! M1 T1 Sol Órbita de transferência de Hohmann: órbita mais econômica entre duas órbitas elípticas T0

Viagem econômica de ida a Marte A astronave chegará em Marte 258 dias após seu lançamento.

Permanência em Marte M1 T0 M0 T1 Em Marte, os astronautas deverão permanecer 454 dias, aguardando outra janela para o vôo de regresso.

Viagem econômica de retorno à Terra Na viagem de volta, mais 258 dias para chegar na Terra.

Observando a maré A maré!!!

Observando o nível do mar Maré baixa Maré alta Nível do mar

Desnível entre as marés alta e baixa Preamar Amplitude Nível médio Desnível Amplitude Baixa-mar Desnível = 2 * Amplitude

Períodos envolvidos com a maré

Intervalo de tempo entre marés 12h25m 12h25m 03h06m 15h31m 03h56m 00h00m 12h25m 00h50m Preamar Baixa-mar 06h12m 18h27m 09h19m 21h44m 12h25m

Relação entre marés e posição da Lua no céu Zênite PS Maré baixa Meio-dia lunar Maré alta E N S W Maré alta Maré baixa Meia-noite lunar

Dia Solar e Dia Lunar Dia 1 Meio-dia solar  Meio-dia lunar  PS

Dia Solar e Dia Lunar Dia Solar 24h00m00s Dia 2 Meio-dia solar  Meio-dia lunar  PS Dia Solar 24h00m00s

Dia Solar e Dia Lunar Dia Solar Dia Lunar 24h00m00s 24h50m28s Dia 2 Meio-dia solar  Meio-dia lunar  PS Dia Solar 24h00m00s Dia Lunar 24h50m28s

Mudança diária no nível da maré Dia 1 2 3 4 5 6 7 Preamar Baixa-mar

Influência da fase da Lua sobre a altura da maré Dia 1 7 14 22 29 Preamar Baixa-mar Lua cheia Quarto minguante Lua nova Quarto Crescente Lua cheia

Causa da maré

Atração Gravitacional ( Newton ) m M F F d F = G.m.M / d2

Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra F = G.m.M / d2 f m F M m d D f = G.m.M / D2

Atração Gravitacional da Lua sobre a Terra elástica f = G.m.M / D2 Terra F = G.m.M / d2 Lua d D Lua Terra

Forças causadoras das Marés P D M FC FD FP F = G.M.m/d2

Configuração instantânea das marés na superfície da Terra Baixa Alta Alta Baixa

2 Glub- glub... 3 1 8 Seqüência da Maré Glub- glub... 7 4 5 6

Movimento diurno aparente da Lua W L Sentido da revolução da Lua Sentido da rotação da Terra PS

Seqüência da Maré Glub- glub... Glub- glub... 2 1 8 7 3 4 6 5 PS PS PS

Componentes da maré

Contribuição da maré solar e da maré lunar 1 2,5 Lunar

Marés marítimas e... Marés Terrestres !

Marés marítimas

Estrutura Interna da Terra Núcleo Interno Núcleo Externo Manto inferior Manto superior Crosta

Marés Terrestres Lua ~ 15 cm Magma pastoso Placa Placa Magma pastoso

Efeitos das marés a longo prazo

A Terra está parando de girar ! Atrito Calor Gravidade Marés Rotação da Terra Ciclicidade das marés Perda de energia cinética de rotação Tempo Velocidade de rotação Período de rotação +1s/ano A Terra está parando de girar !

Translação da Terra daqui a ... muitos anos ! Sol

Translação atual da Lua

Quebra de satélites pelas marés

Deformação e/ou desmembramento de Satélite Satélite deformado pelas forças de marés Satélite desmembrado

Cometa Shoemaker-Levy

Choque Shoemaker-Levy e Júpiter

Como se formam as estrelas?

Pressão gravitacional Existindo massa, existe atração gravitacional

Contração gravitacional de uma nebulosa Lei da atração gravitacional Gás Hidrogênio m m’ d F F F = G m m’ / d2 A forma geométrica de menor energia é a esfera.

De proto-estrela à estrela

Gestação de uma estrela Nebulosa inicial Gestação de uma estrela ?

Aquecimento da proto-estrela Gás Hidrogênio Aquecimento da proto-estrela Excitação Ionização Desexcitação Fusão nuclear Energia Elemento mais pesado

Nascimento de uma estrela Nebulosa inicial Nascimento de uma estrela Início das reações de Fusão Nuclear Nasceu a estrela !

Porque a estrela não colapsa?

Temperatura A Temperatura de um corpo mede o grau de agitação Quente A Temperatura de um corpo mede o grau de agitação caótica de suas partículas. Frio

existe a pressão térmica. Ar frio Devido à temperatura, existe a pressão térmica. Mecha acesa Balão com mecha apagada

Pressões atuantes numa estrela Partícula Expansão térmica Vai... Contração gravitacional Vem...

(Des)equilíbrio Estático PT < PG Contração PT = PG Equlíbrio PT > PG Expansão PT = Pressão Térmica PG = Pressão Gravitacional

Como são escobertos os planetas e os buracos negros?

Evolução de estrelas dependendo de suas massas Peso Leve Anã Branca Tempo de Vida Peso Médio Estrela de nêutrons Estrela Supernova Peso Pesado Buraco Negro (Planeta) Peso Pena 0,08 4 8 Massas solares

Lançamento de corpos num campo gravitacional Luz

Estrela Colapsada

Buraco Negro Buraco Negro

Foto de um Buraco Negro ?

Representação geométrica de um Buraco Negro Geodésicas num espaço vazio Geodésicas nas proximidades de um Buraco Negro

‘Massa’ de um fóton Fóton E = mc2 f c E = hf mc2 = hf m = hf / c2

Horizonte de eventos Horizonte de eventos: Geodésica Horizonte de eventos: Superfície que delimita a região do espaço em torno de um buraco negro de modo que qualquer corpo (ou mesmo a Luz) que nele penetre, não pode mais dele sair .

Forças de maré num Buraco Negro gcabeça gpé Buraco Negro

Leis de Kepler

Primeira Lei de Kepler ( 1571 - 1630 ) Um corpo ligado a outro, gravitacionalmente, gira em torno dele numa órbita elíptica.

Segunda Lei de Kepler ( 1571 - 1630 ) D t D t Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele, com seu raio vetor varrendo áreas iguais em tempos iguais.

Movimento em torno do Centro de Massa Comum 3 2 M m 4 1 CM d D M d = m D

Sistema Binário de estrelas CM 1 5 2 3 4

( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2 Terceira Lei de Kepler T’ m’ r’ M m r T ( r / r’ )3 = ( T / T’ )2 r 3 = k T 2 ( r / r’ )3 = ( (M + m) / (M + m’) ) x ( T / T’ )2 r 3 = [G/(4p 2)] ( M + m ) T 2 Expressão correta:

Determinação das Massas das estrelas de um Sistema Binário r = d + D r 3 = [G/(4p 2)] ( M + m ) T 2 M d = m D M , m

Voltando à descoberta dos planetas extra-solares e dos buracos negros ...

Sistema Planetário Planeta ! m <<< mSol CM 1 3 4 5 2 1 2 3 4

Sistema Binário de estrelas ? 3 4 1 2 5 Buraco Negro ! m >>> mSol

Prova da Teoria da relatividade através de um eclipse solar total

Geodésica É a trajetória percorrida pela luz

Curvatura do Universo Universo Vazio Geodésicas retilíneas Universo m Universo não vazio Geodésicas curvas

Lente Gravitacional Buraco negro Foto de parte do céu

Lentes gravitacionais

Deflexão da luz Sol

Deflexão da luz Comprovação: Eclipse Solar Total de 29 mai 1919 Lua Comprovação: Eclipse Solar Total de 29 mai 1919 no Brasil (por britânicos!)

Posição de uma estrela

Sol visto no céu 00:00

Início do Eclipse Solar Parcial 00:10

Eclipse Solar Parcial 00:20

Eclipse Solar Parcial 00:30

Eclipse Solar Parcial 00:40

Eclipse Solar Total 00:50

Posição desviada de uma estrela durante um eclipse solar total Lua

Alguns eclipses importantes 28 mai 585 a.C. Primeiro eclipse previsto 18 jul 1860 Primeiro a ser fotografado 18 ago 1868 Primeira análise da composição química dos gases das proeminências 07 ago 1869 Primeira foto e análise espectroscópica da coroa solar 29 mai 1919 Confirmação experimental da deflexão (1,75”) da luz num campo gravitacional, conforme previsto por Einstein. Observado em Sobral, Ceará, Brasil

Deflexão da luz nas proximidades do Sol Observada Real d d = 0,00407” / tan( E / 2 ) Sol E E = elongação da estrela d = deflexão da luz Alguns valores de deflexão da luz E ( o ) 0,25 0,5 1 2 5 10 20 50 90 d ( “ ) 1,866 0,933 0,466 0,233 0,093 0,047 0,023 0,009 0,004

Nossa Galáxia

Esquema da Galáxia

Aglomerado Globular M 13 Diâmetro = 2000 AL Estrelas = 1.000.000

Galáxias

Andrômeda Galáxia espiral Galáxia Espiral Sb Diâmetro = 150.000 a.l. Distância = 2.000.000 a.l. 150 bilhões de estrelas Magnitude aparente = 3,5 Galáxia espiral

Aglomerados de galáxias

Região central do Aglomerado de Virgo (elíptica) M86 (elíptica) Distância = 40 milhões de AL (o mais próximo de nós) Número de Galáxias = 2250

Aglomerado de Galáxias

Evidências de que o Universo não é estático

Velocidade Radial da galáxia Distância até a galáxia Lei de Hubble (1929) c ? Observacional: As galáxias estão se afastando de nós. v Velocidade Radial da galáxia v = H D D Distância até a galáxia 50 < H < 100 (km/s)/Mpc

Universo em Expansão Presente Futuro Passado

Evolução do Universo

Origem (?) e Evolução do Universo Big-bang Pré-big-bang (!?!) Pós-big-bang Existia? Havia matéria? Havia energia? Como era? Ocorreu? Como evoluiu? Como será o futuro? Óvulo primordial

“Big-bang” Óvulo primordial Big-bang Universo em expansão

Como se comporta o Universo?

Tipos de Universo em Expansão acelerada Expansão freada Expansão linear Raio do Universo Expansão limitada Pulsação Tempo

Comportamento do Universo Expansão seguida por contração Velocidade Expansão indefinida Determinante = massa do Universo

Universo Cíclico Presente Passado Futuro

Universo Pulsante Big Bang Ciclo anterior Big Bang Ciclo futuro Raio do Universo Ciclo atual Hoje Tempo Big Bang

Qual a causa do big-bang?

Diferença entre Matéria e Anti-matéria p- e+ e- n0 p+ (Koyno-)Matéria

Interconversão entre matéria e energia E = (m+a) c2 E m a 2

Explicação para o Big Bang m + a E E = m c2 Raio do Universo Koino-matéria Anti-matéria Luz Hoje Tempo

Será que o Universo pode se comportar como um buraco negro?

Fabricar um Buraco Negro ! ? Buraco Negro Terra

Para se tornar um Buraco Negro Raio Raio de Schwarzschild: R = ( 2GM ) / c2 Massa ? Massa Raio Densid. Terra 6x1024 1 cm 1027 Sol M = 2x1030 3 km 1016 Estrela Pesada 10 M 30 km 1014 Galáxia 1011 M 0,03 AL 10-6 Universo ? ? ?

Relação entre tamanho e massa Universo Galáxia Estrela Tamanho da estrutura Sol Anã branca Buraco Negro Planetas Pulsar Região de colapso gravitacional Asteróides R = 2GM/c2 Átomos Moléculas Núcleos atômicos Massa da estrutura

Conclusão Buraco Negro Pode ser que Nosso Universo se comporte como um Nada do que está dentro pode sair; Para “outro” Universo, somos invisíveis.

Fim