INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

A ciência do comportamento aleatório é necessária para compreender a Estatística, a ciência dos dados.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Considere que: Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um evento. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, têm aspectos diferentes que os distinguem entre si. Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A, então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Exemplo 1: Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um dado equilibrado? Solução: Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a probabilidade de ocorrer face 6 é 1/6.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: IMPORTANTE: É importante entender que a definição clássica de probabilidade não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa série de jogadas.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Exemplo 2: Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são igualmente prováveis)? Solução: Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande de vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de lançamentos feitos.

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Definição 3: Ω = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo 1: Fenômeno Aleatório: Lançamento de uma moeda. Ω = {cara, coroa} Evento: Face observada é cara.

Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento 1: Face observada é SEIS. Evento 2: Face observada é ÍMPAR. Evento 3: Face observada é maior ou igual a 4. Evento 4: Face observada é PAR.

Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23 DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz três lances livre. Quais são as possíveis sequências de acertos (A) e erros(E)? Ω =??? Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23

Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23 DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE} Note: 8 elementos, 23 Evento F: O jogador acerta os três lances; Evento G: O jogador erra dois lances; Evento H: O jogador acerta o segundo lance; P(F) = 1/8 P(G) = 3/8 P(H) = 4/8

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz três lances livre. Qual o número de cestas feitas? Ω =??? Ω = {0, 1, 2, 3} P(0) = ?? P(1) = ?? P(2) = ?? P(3) = ??

Ω = ??? Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0) DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Exemplo 4: Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa sobre uma nova dieta para alimentar ratos machos brancos. Quais são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)? Ω = ??? Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)

Peso: Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0) Infinitos DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Finitos Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} ESPAÇOS AMOSTRAIS: Peso: Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0) Infinitos

Existem muitos outros tipos de curvas de densidades. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Questão: Como calcular probabilidades quando o espaço amostral é infinito (contínuo)? Exemplo: Densidade uniforme. A probabilidade de distribuirmos uniformemente a variável Y dentro de 0.3 e 0.7 é a área sob a curva de densidade correspondente a esse intervalo. Então: P(0.3 ≤ Y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4 Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Definição 4: Dois eventos são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se eles não tiverem nenhum resultado em comum, portanto nunca ocorrem juntos. A  B =   P(A  B) = 0

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Definição 5: Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a probabilidade de um outro evento ocorrer. Exemplo: No lançamento de uma moeda, o resultado do primeiro lançamento (cara, por exemplo) NÃO ALTERA a probabilidade de dar cara ou coroa no segundo lançamento.

Propriedade 1: Propriedade 2: Propriedade 3: DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Propriedade 1: A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1 Propriedade 2: A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(Ω) = 1 Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1 Propriedade 3: A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do evento ocorrer. P(Ac) = 1 – P(A) Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5

P(A ou B) = P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A e B) DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Propriedade 4: Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A probabilidade de que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é: P(A ou B) = P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta de um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas? Então: P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3 1 3 12

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha ocorrido. Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.

B = Carta Retirada é de Copas Ex: DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Propriedade 5: A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que P(A) > 0) A = Retirado um Rei B = Carta Retirada é de Copas Ex:

Se A e B são independentes: DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Se A e B são independentes: Desta forma, se A e B são independentes:

A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos: DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: IMPORTANTE: A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos: A e B são independentes:

P(A e B) = P(A  B) = P(A) P(B|A) DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO. A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B, ocorram conjuntamente pode ser dada por: P(A e B) = P(A  B) = P(A) P(B|A) Caso particular: A e B são independentes.

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES O diagrama de árvores representa graficamente todos os possíveis resultados e apresenta as probabilidades condicionais de subconjuntos de eventos. Diagrama de árvores para hábitos de conversar em sites de bate-papo, para três grupos de idade adulta. Uso de Internet 0.47

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES: Qual a probabilidade de encontrarmos um indivíduo que utiliza o bate-papo na internet? Uso de Internet 0.47 P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) = P(C  A1) + P(C  A2) + P(C  A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) = = 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252