Introdução à Física do Estado Sólido Ivan S. Oliveira CBPF-EXP Aula 2 Bilbiografia: Introdução à Física do Estado Sólido, Ivan S. Oliveira e Vitor L.B. de Jesus, Ed. Livraria da Física (São Paulo, 2005).

O Problema Estatístico Média quântica Válido para 1 objeto quântico Dada uma coleção de N objetos quânticos, não se tem certeza do estado de cada um deles. Isto significa que os coeficientes cn podem variar de um objeto para outro. Devemos então fazer uma média sobre os valores espe- rados:

Define-se a matriz densidade r como uma matriz cujos elementos são: Com isso: Ou seja, se conhecermos a matriz densidade, podemos calcular os valores termodinâmicos de observáveis utilizando a fórmula acima. Exemplos são: a) Energia interna: b) Magnetização:

O problema consiste então em conhecermos a matriz densidade de um dado sistema. Isto é feito a partir da definição de entropia: e o Princípio da Maximização: a entropia é máxima em um sistema termodinâmico em equilíbrio. Para um sistema a uma temperatura constante, o Princípio da Maximização da Entropia leva a: Onde H é o hamiltoniano, e Z a função de partição: onde En são as auto-energias do sistema.

Observações sobre r Se em um sistema composto: Sistema separável! Em um sistema emaranhado: Em um sistema não-extensivo:

Exemplo: magnetização de uma amostra. Considerar S = 1/2

Segunda Quantização Obtém-se: Paradigma: oscilador harmônico Ou: Seja: A E.S. se torna: Usando: E:

2) Definições: Com isto: Seja y0 o estado fundamental: Onde, Propriedades importantes: 1)

3) De modo análogo: Logo, Aplicação: Generalização: Corpo negro

Férmions Operadores que satisfazem a regra [a,a+] =1 são chamados de operadores de bósons. Bósons são partículas com spin inteiro. Exemplos de bósons são: fótons, fônons, magnons, plasmons, etc. Férmions são partículas com spin semi-inteiro. Operadores de criação-aniqui- lação para férmions são denotados por c e c, respectivamente, e satisfazem uma regra de anti-comutação: {c,c+} = cc+ + c+c = 1. Exemplos de férmions são: Prótons, elétrons, etc. Férmions obedecem ao Princípio de Exclusão; bósons não. A expressão deste prin- cípio em termos dos operadores de criação é: O que significa que dois férmions não podem estar no mesmo estado quântico. Ou seja, o número de férmions em um estado quântico é zero ou 1.

Exemplo: número médio de férmions em um estado. Onde ckck+ é o operador de número de férmions, que vale 0 ou 1. Conseqüentemente, Distribuição de Fermi-Dirac