Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa Resolução do 2º teste Ano lectivo 2000/2001

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa I G 1 H 2 R(s)C(s) G 2 H 1 G Determine a função de transferência global do seguinte diagrama de blocos:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 1G 1 R(s) C(s) G 2 G 3 1 -H 2 H 1 R(s) Caminhos directos: Malhas fechadas:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa Caminhos directos: Determinantes de fluxo de sinal (função característica):

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 1.2. Considera o sistema mecânico da figura, que apresenta as equações seguintes: F

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente. F   

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa b) Determine a função de transferência, em malha fechada, usando a fórmula de ganho de Mason.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa II 2.1. Considere o sistema representado pela seguinte função de transferência: a) Aplique o critério de Routh e determine se o sistema é estável. Justifique. O sistema é instável, pois existe alteração de sinal na primeira coluna. b) Indique o número de pólos com partes reais positivas. Justifique. Existem duas trocas de sinal (+ para - e - para +) na primeira coluna, então o sistema tem dois pólos com partes reais positivas.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 2.2. O denominador de uma função de transferência de um sistema em anel fechado é dada por: Quais os valores de k para que o sistema seja estável?

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa III 3. A função de transferência de um sistema é a seguinte: a) Determine a função de transferência em malha fechada, sabendo que a realimentação é unitária negativa Dado a realimentação ser negativa, a função de transferência em malha fechada é:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa b) Determine a função de transferência em malha aberta do sistema realimentado. c) Esboce o gráfico do lugar geométrico das raízes (L.G.R.) para 1Número de ramos, zeros e pólos nº de zeros  m=1(s=-3) nº de pólos  n=3(s=-5; s=-2-3j; s=-2+3j) n>m  n=3 ramos 3Número de ramos para infinito nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 4Assimptotas dos ramos para infinito Como existem2 ramos para infinito, as assimptotas fazem 180  entre si (360  /2): k>0k<0 l=0 l=1 5Origem das assimptotas

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 6Pontos de convergência/divergência Há apenas um ponto de convergência/divergência em -0,845. Os restantes valores não são possíveis, pois não se encontram sobre o eixo real.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa 7Ângulos de partida dos pólos complexos 8Não há zeros complexos

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa Determinando os pontos de cruzamento com o eixo imaginário: O L.G.R. corta o eixo imaginário em w=0. Os restantes valores não são possíveis, pois não se encontram sobre o eixo imaginário.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa Esboço do gráfico do L.G.R..

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa d) Descreva de forma simplificada como obter os valores de K para o qual o sistema é estável, a partir do L.G.R. Da observação do L.G.R. verifica-se que o sistema é sempre estável para K>0. Para valores de K<0, verifica-se que o sistema é estável até ao valor de K=-21,667 correspondente ao cruzamento do L.G.R. com o eixo imaginário (w=0), sendo instável para os restantes valores de K.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2001, Jorge Lagoa e) Se quisesse aproximar este sistema através dos pólos dominantes a um sistema equivalente do segundo grau, que função de transferência utilizaria? Justifique. Os pólos dominantes são os que poderão causar instabilidade mais cedo, logo os que se encontrem mais perto do eixo imaginário. Os pólos domnantes so sistema são os dois pólos complexos conjugados pelo que utilizaria a função de transferência: