Matemática Matriz Inversa Ensino Médio, 2º Ano Matriz Inversa

Noções iniciais Matemática, 2º Ano Matriz Inversa No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição: a.b = b.a =1 É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1. Exemplo:

Definição Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e indicada por A-1 .

Exemplo 1: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Verifique que a matriz é a inversa da matriz . Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Observações: Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa, apresentaremos, a seguir, um processo baseado na definição de matriz inversa e na resolução de sistemas lineares. Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz não singular, caso contrário, será uma matriz singular.

Exemplo 2: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Vamos encontrar, se existir, a inversa de . Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In. Logo:

Exemplo 2 (continuação): Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Exemplo 2 (continuação): Do conceito de igualdade, seguem os sistemas: , cuja solução é a = 2 e c = -5/2 , cuja solução é b = -1 e c = 3/2 Então, É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita.

Exemplo 3: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Vamos encontrar, se existir, a inversa de . Fazendo A.A-1 = In , temos: Logo:

Exemplo 4: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos: .(-2) .(-2) (Impossível) (Impossível) Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu solução). .

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Observações: O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar do grande nível de complexidade, pode ser usado para o cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com n ≥ 2. Estudar métodos para solução de sistemas lineares será bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem n, com n ≥ 3.

Exercícios Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 01. Obter a matriz inversa da matriz . Resolução: Sendo , temos: , cuja solução é a = 1 e c = -1 , cuja solução é b = -1 e c = 2

Exercícios Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 02. Verifique se é a inversa de . Resposta: SIM 03. Determine, se existir, a inversa da matriz . Resposta:

Exercícios Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 04. Verifique se a inversa de é a matriz . Resposta: SIM 05. A inversa de é a matriz . Determine x e y. Resposta: x = 7 e y = 1

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos as seguintes propriedades: Dada A, se existir A-1, então ela é única; (A-1)-1 = A; (A . B)-1 = B-1 . A-1; (A-1)t = (At)-1.

Propriedades Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. Demonstração: De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja, (CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.

Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e (A-1)-1 = A . Demonstração: Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se, A.B=B.A = In. Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In. Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.

Exemplo 5: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Vamos encontrar a inversa de . . Fazendo A . A-1 = In: Então Calculando (A-1)-1

(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In . Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1. Demonstração: Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que (AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In . (AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In . A segunda identidade é inteiramente análoga.

Exemplo 6: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Encontrando as inversas e o produto de e . Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade:

Propriedades Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t. Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Propriedades Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t. Demonstração: Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:

Exemplo 6: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz Calculando At e A-1 , teremos respectivamente: Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:

Aplicação prática: Resposta: Matemática, 2º Ano Matriz Inversa As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível denominada matriz chave, para manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida. Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave e a matriz transmitida? Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é , qual sua senha? Resposta: a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S b) 2509

Exercícios de fixação Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível: Resp: é singular Resp: 1/5 √2 1/5 √2 -2/5 √2 1/10 √2 cosɵ senɵ -senɵ cosɵ

Exercício de Fixação Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 02. Dadas as matrizes ,calcule: a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1 -16 6 -3 1 1/4 0 -1 1/2 1/2 3/2 -3 -8 Resp: a) b) c) 0 d)

Exercício de Fixação Matemática, 2º Ano Matriz Inversa 03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que: a) b) c) d) Resposta: B

Exercícios de fixação 04. Se e , determine a matriz X2x2 tal que (A-1.X)-1 = B. Resposta: