Matemática Discreta 1 – MD 1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba 10 Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 7: Proposições (2)

Introdução As proposições (simples ou compostas) possuem valores lógicos (ou valores verdade) Verdadeiro (V) ou Falso (F): As operações realizadas sobre as proposições também possuem valores lógicos. A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos operadores lógicos sobre as proposições: Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo os diferentes valores verdade para as proposições.

TV - Resumo (1)

TV - Resumo (2)

Sintaxe (1) A Matemática é uma ferramenta para modelagem e abstração do “mundo real”, e a Lógica Matemática pode se constituir numa das linguagens pela qual se descreve fatos e idéias sobre este mundo. Assim como a Língua Portuguesa é uma linguagem e que portanto, possui uma gramática e formas de escrever corretamente uma frase que expresse alguma fato ou idéia, a Lógica Matemática também possui uma linguagem, com seus elementos e gramática, a qual se chama de Cálculo Proposicional. A sintaxe do Cálculo Proposicional especifica os símbolos e os modos de combiná-los para formar uma expressão válida da linguagem, a qual pode ser chamada de “fórmula bem formada ou fórmula bem formulada” (fbf).

Sintaxe (2) Elementos Válidos: Operadores Lógicos: Adicionalmente: Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C, ..., são usadas para representar proposições ou fórmulas proposicionais. Opcionalmente letras minúsculas do alfabeto, tais como p, q, r, ... , podem ser usadas para representar proposições. Operadores Lógicos: Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧. Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨. Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →. Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔. Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬. Adicionalmente: Parênteses ( , ).

Sintaxe (3) Há algumas regras para verificar se uma cadeia de letras de proposição (uma expressão proposicional) é considerada uma expressão válida: Uma letra proposicional sozinha é gramaticalmente correta ou uma fórmula bem formada (fbf). Se qualquer expressão proposicional A (tal como p ∨ q) é bem formada, então também o é sua negação ¬A (ou seja, ¬(p ∨ q) neste caso). Se A e B são expressões ou fórmulas bem formadas, então também o são (A ∧ B), (A ∨ B) e (A → B). Exemplos: ¬((p ∨ q) → r) fbf? p)) ∧ ∧ → qr fbf?

Sintaxe (4) Assim como na aritmética, as operações lógicas devem ser realizadas segundo uma ordem de prioridade imposta pelos operadores (conectivos) lógicos. A ordem de prioridade é: 1 Negação 2 Conjunção 3 Disjunção 4 Condicional 5 Bicondicional Exemplo:

Sintaxe (5) Uma outra forma de definir ordens de prioridade na expressão é com o uso de parênteses. Neste caso, as expressões “mais internas” aos parênteses devem ser analisadas primeiro. Exemplo: ¬p ∧ (q → r) Numa fórmula bem formada (fbf) com vários operadores lógicos envolvidos, o último operador a ser aplicado é o denominado operador ou conectivo principal da expressão. A ∧ ¬(B → C) ((A ∨ B) ∧ C) → (B ∨ ¬(C))

Análise de Expressões Lógicas (1) Para análise de uma expressão lógica e construção da Tabela Verdade deve-se: Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos parênteses. Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos operadores. Calcular os valores verdade da expressão, supondo todas combinações de valores verdade para as proposições simples.

Análise de Expressões Lógicas (2) Observações: As colunas da Tabela Verdade estão dispostas de acordo com a ordem de prioridade das operações, pois isso auxilia na organização dos cálculos. A última coluna é reservada para a expressão proposicional. O número de linhas da Tabela Verdade é igual a 2 elevado ao número de proposições simples (n) que compõe a expressão proposicional (ou seja, = 2n).

Análise de Expressões Lógicas (3) Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬q) ↔ r

Análise de Expressões Lógicas (3) Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬q) ↔ r ¬

Análise de Expressões Lógicas (4) Resumo: Dada uma expressão proposicional, a Tabela Verdade permite verificar o “comportamento” desta expressão em diferentes circunstâncias. Etapas importantes para construção da Tabela Verdade - Identificar as proposições simples (definir uma coluna da tabela para cada uma). Identificar a ordem de prioridade das operações lógicas na expressão (subexpressões). Calcular cada subexpressão (em diferentes colunas da tabela). Calcular o valor verdade da expressão lógica para cada configuração de valores verdade das proposições simples.

Análise de Expressões Lógicas (5) Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais: ¬(p ∧ ¬q) ¬q → (p ∨ ¬r )

Análise de Expressões Lógicas (3) Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais em português: Se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte, então o cavaleiro vencerá. O cavalo estará descansado se, e somente se, a armadura for leve e o cavaleiro vencer. Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá, ou, o cavaleiro perderá. O cavaleiro vencerá se a armadura for forte, ou, o cavalo estará descansado se a armadura for leve. Observação: Nas expressões em forma discursiva (linguagem natural), a vírgula pode ser utilizada para separar subexpressões, como fazem os parênteses na notação matemática.

Tautologia (1) Tautologia é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre verdadeiro, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Seja a seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬p) → (q ∨ p) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Tautologia se, independente dos valores verdade associados às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Verdadeiro (V).

Tautologia (2) Contradição é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre falso, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. Seja a seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬p) ↔ (¬p ∧ q) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Contradição se, independente dos valores verdade associado às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Falso (F).

Tautologia (3) Contingência é uma expressão proposicional que pode assumir o valor lógico Verdadeiro ou Falso. Exercícios: Verifique se as expressões proposicionais a seguir são tautologias, contradições ou contingências (Dica: montar a tabela verdade e observar a última coluna). p → (q →p) p → (q → (p ∨ q)) ¬p ∨ (p ∧ q) ¬(p ∧ ¬p)

Implicação Lógica (1) Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou uma relação de implicação) entre as proposições p e q quando a proposição condicional p → q é uma tautologia. Notação: p  q onde se lê p implica (logicamente) q ou se p, então q.

Implicação Lógica (2) Observação: Os símbolos  e  têm significados diferentes. O símbolo  entre duas proposições dadas indica que há uma relação, ou seja, que a proposição condicional associada é uma tautologia. Enquanto que o símbolo  realiza uma operação entre as proposições, dando origem a uma nova proposição p  q, que pode conter valores lógicos V ou F.

Implicação Lógica (3) Exemplo: Verificar se a expressão abaixo é uma implicação lógica. (p ∧ q)  (p ∨ q)

Implicação Lógica (4) Exemplo: (p ∧ q)  (p ∨ q) Obs.: Para verificar se a expressão proposicional acima é uma implicação lógica - Monta-se a tabela verdade da expressão Substitui-se o símbolo  por →.

Equivalência Lógica (1) Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre p e q quando suas tabelas verdades forem idênticas. De forma intuitiva, isto significa que proposições logicamente equivalentes transmitem a mesma informação (valor lógico), a partir das mesmas proposições componentes. A proposição p é logicamente equivalente à proposição q ou seja, p  q, sempre que a proposição bicondicional p ↔ q for uma tautologia. Notação: p  q.

Equivalência Lógica (2) Exemplo: ¬(p  q) ↔ (p ∧ ¬q)

Equivalência Lógica (3) Exemplo: ¬(p  q) ↔ (p ∧ ¬q) Logo, pode-se dizer que há uma equivalência lógica entre as expressões ¬(p  q) e (p ∧ ¬q), simbolizada abaixo: ¬(p  q)  (p ∧ ¬q)

Equivalência Lógica (4) Exercício: Verifique se as expressões a seguir são implicações, equivalências ou contingências. (Dica: substituir os símbolos  e  por → e ↔ respectivamente, e montar a tabela verdade, analisando a última coluna) . ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q p ∧ ¬q  ¬(p  q) (p  q) ∧ ¬p  ¬q p ↔ ¬q  q  p

Equivalência Lógica (5) As relações de equivalência podem ser comparadas com a relação de igualdade (operador =): Assim, dada uma expressão lógica composta por duas subexpressões lógicas, se uma das subexpressões for substituída por uma outra subexpressão equivalente, então a nova expressão tem o mesmo sentido (valor verdade ou valor lógico) que a expressão original. Exemplo: Já se viu que ¬(p  q)  (p ∧ ¬q). Seja a expressão r  (p ∧ ¬q). Pode-se dizer que o seu significado é o mesmo que ¬(p  q)  r.

Equivalência Lógica (6) Dada a proposição condicional p  q, ela tem associadas três outras proposições, as quais contém p e q: Recíproca do Condicional: q  p. Contrapositiva: ¬q  ¬p. Recíproca do Contrapositivo ou Inversa: ¬p  ¬q. Obs.: Condicional e Contrapositiva são logicamente equivalentes. p  q  ¬q  ¬p Recíproca e Inversa são logicamente equivalentes. q  p  ¬p  ¬q

Equivalência Lógica (7) Outro Exemplo: p: T é um triângulo equilátero. q: T é um triângulo isósceles (dois lados iguais). p  q (condicional): Se T é equilátero, então T é isósceles. É o mesmo que dizer ~q  ~p (contrapositiva) Se T não é isósceles, então T não é equilátero. q  p (recíproca): Se T é isósceles, então T é equilátero. É o mesmo que dizer: ~p  ~q (contrária) Se T não é equilátero, então T não é isósceles.

Equivalência Lógica (8) Exemplo: p: O céu está nublado. q: Vai chover. Condicional: p  q: Se o céu está nublado, então vai chover. Recíproca: q p : Se vai chover, então o céu está nublado. Contrapositiva: ¬q  ¬p: Se não vai chover, então o céu não está nublado. Inversa: ¬p  ¬q: Se o céu não está nublado, então não vai chover.

Equivalência Lógica (9) Devido sua importância e uso freqüente, algumas equivalências lógicas são consideradas como Leis do Cálculo Proposicional. (L1) Comutatividade na disjunção: p ∨ q  q ∨ p (L2) Comutatividade na conjunção: p ∧ q  q ∧ p (L3) Associatividade na disjunção: p ∨ (q ∨ r )  (p ∨ q) ∨ r (L4) Associatividade na conjunção: p ∧ (q ∧ r )  (p ∧ q) ∧ r (L5) Idempotência na disjunção: p ∨ p  p

Equivalência Lógica (10) (L6) Idempotência na conjunção: p ∧ p  p (L7) Distributividade com relação a disjunção: p ∨ (q ∧ r )  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) (L8) Distributividade com relação a conjunção: p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (L9) Lei de De Morgan para disjunção: ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q (L10) Lei de De Morgan para conjunção: ¬(p ∧ q)  ¬p ∨ ¬q (L11) Dupla negação: ¬¬p  p

Equivalência Lógica (11) (L12) Lei de Passagem: p  q  ¬(p ∧ ¬q) (L12a) Lei de Equivalência: p ↔ q  (p  q) ∧ (q  p) Considerando V uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa, algumas proposições podem ser simplificadas diretamente, como por exemplo: (L13): p ∨ ¬p  V (L14): p ∧ ¬p  F (L15): p ∧ V  p

Equivalência Lógica (12) p ∨ F  p (L17): p ∨ V  V (L18): p ∧ F  F

Equivalência Lógica (13) Resumo:

Equivalência Lógica (14) Com o conhecimento destas leis, a equivalência entre proposições podem ser verificada, utilizando apenas as leis do cálculo proposicional, sem fazer uso das Tabelas Verdade: Uma outra utilidade importante destas leis é simplificar longas proposições, reduzindo-as em proposições equivalentes mais simples.

Equivalência Lógica (15) Exemplo: Simplificar (p ∨ q) ∧ ¬p. (p ∨ q) ∧ ¬p = (L2) p ∧ q  q ∧ p ¬p ∧ (p ∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬p  F F ∨ (¬p ∧ q ) = (L16) p ∨ F  p (¬p ∧ q ) Logo (p ∨ q) ∧ ¬p  (¬p ∧ q) Obs.: Simplificar significa chegar-se numa expressão lógica mais simples (com menos proposições ou conectivos)

Equivalência Lógica (16) Exemplo: Mostrar que p ∧ (¬p ∨ q)  p ∧ q. p ∧ (¬p ∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬p  F F ∨ (p ∧ q) = (L16) p ∨ F  p p ∧ q = Logo p ∧ (¬p ∨ q)  p ∧ q. Obs.: Mostrar neste caso significa que a partir da primeira expressão proposicional p ∧ (¬p ∨ q), chega-se na segunda expressão proposiconal p ∧ q ou vice-versa.

Equivalência Lógica (17) Exemplo: Seja a expressão proposicional p ∨ q: “O rio é raso ou o rio é poluído”. Qual é o significado da expressão ¬(p ∨ q) ? Pela lei de De Morgan para disjunção, ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q Logo, ¬(p ∨ q): “O rio não é raso e nem poluído”. Obs.: Note que ¬(p ∨ q) não é equivalente a: “O rio não é raso OU não é poluído”.

Equivalência Lógica (18) Exercício: Mostrar as seguintes equivalências abaixo, ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q p  q  ¬p ∨ q Simplificar, p ∨ (p ∧ q) Fazer a negação da frase, “Joaquim é alto e é magro”.

Equivalência Lógica (19) Exercício: Como negar (p  q) ? Ou ¬(p  q)  ?

Equivalência Lógica (20) Exercício: Como negar (p ↔ q) ? Ou ¬(p ↔ q)  ?