Sistemas de partículas

Plano da aula Sistemas de duas partículas. Sistemas de N partículas. 2a Lei de Newton para um sistema de partículas. Cálculo de centro de massa. Momento linear e sua conservação.

Sistema de 2 partículas: centro de massa Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão: F1(ext) F2(ext) F1¬2 F2¬1 Note como distinguimos forças internas (F1¬2 e F2¬1) de forças externas (F1(ext) e F2(ext)). Somando-se as equações termo a termo: Da 3a lei de Newton, F1¬2= - F2¬1 F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam

Sistema de 2 partículas: centro de massa (cont.) Definimos: tal que onde M=m1+m2 é a massa total do sistema. O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) F1(ext) F2(ext) F1¬2 F2¬1 F(ext) M Þ xCM Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é constante 2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas

Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante m=80 kg m=60 kg Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles? Só há forças internas ao sistema Þ O centro de massa tem velocidade constante. Os patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda, não importam as forças exercidas por eles.

Generalização para N partículas: Somando as equações, as forças internas se cancelam aos pares

Generalização para 3 dimensões: O sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa. 2a Lei de Newton para um sistema de partículas

2a Lei de Newton para um sistema de partículas: O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Momento Linear e sua conservação

Momento linear: O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é uma quantidade vetorial definida como: A 2a lei de Newton pode ser escrita como: O momento linear de um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos lineares individuais: Diferenciando em relação ao tempo a definição do centro de massa: Diferenciando novamente e usando a 2a lei de Newton para um sistema de partículas:

Nesta figura, um neutrino (n) colide com um próton (p) estácionário Nesta figura, um neutrino (n) colide com um próton (p) estácionário. O neutrino se transforma num muon (m-) e há a criação de um píon (p+). O neutrino, por ser neutro, não deixa rastro na câmara de bolhas. Observe que não haveria conservação de momento linear, se não houvesse uma partícula neutra colidindo pela direita. Eine andere Nachweismöglichkeit besteht darin, die Spuren einer Kollision zwischen einem Neutrino und einem anderen Atomkern z.B. in einer Blasenkammer zu fotografieren. Die Abbildung rechts zeigt die weltweit erste Aufnahme einer Neutrino-Kollision (p + n à p + m- + p+) in einer Wasserstoff-Blasenkammer, die im November 1970 gelang. An der Stelle, an der das Neutrino (n ohne Spur) ein Proton trifft, beginnen drei Spuren. Das Proton (p) fliegt weg und es entstehen ein Müon (m-) und ein Pion (p+).    Das Bild wurde freundlicherweise von Malcolm Derrick vom Argonne National Laboratory zur Verfügung gestellt.  

Conservação de momento linear: Uma consequência imediata da 2a lei de Newton para um sistema de partículas é a conservação do momento linear total de um sistema quando a soma das forças externas é igual a zero. Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei pode ser muito útil para resolver problemas, sem ter que achar a dinâmica detalhada do sistema. Note que a única condição para a conservação do momento linear total é que a resultante das forças externas seja nula. Não há nenhuma restrição quanto à presença de forças dissipativas, desde que elas sejam internas. Se Resultante das forças externas nula O momento se conserva!!

Exemplo do canhão: Massa do canhão mais plataforma M=100 kg Massa da bala m=1,0 kg Velocidade da bala em relação ao canhão vrel=300 m/s Exemplo do canhão: O momento linear total inicial é nulo. Imediatamente após a explosão, o momento linear total tem que ser nulo também, pois as forças que atuam durante a explosão são todas forças internas (depois da explosão, forças externas passam a atuar: gravidade e resistência do ar sobre a bala, atrito sobre a plataforma). Os módulos das velocidades estão assim relacionados: Note que Resolvendo o sistema de equações encontramos:

Forças externas e mudanças de energia interna: Considere a situação ao lado, em que uma patinadora empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação: Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se transforma em energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistema, não entre o sistema e o ambiente externo. A situação envolve um sistema de partículas e não uma partícula apenas: as diferentes partes da patinadora movem-se diferentemente. Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton para um sistema de partículas, em que este é substituído por toda sua massa concentrada no Centro de Massa

Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.) O trabalho realizado pela força no centro de massa ao deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança da energia cinética da patinadora: Se parte do trabalho é utilizada para aumento de energia potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o resultado se generaliza: Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na mesma proporção:

Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.) Propulsão de um carro: o atrito estático é a força externa Atenção: o carro acima tem tração nas quatro rodas. Se ele só tivesse tração em duas rodas (digamos, as dianteiras), a força nas outras rodas seria em sentido contrário!