Licenciatura Plena em Ciências Naturais e Matemática-UFMT Módulo VIII Habilitação: Matemática SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Professores: Demilson, Geraldo, Gladys, Luzia, Vinicius e William CUIABÁ/JANEIRO/2007

SEQÜÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica). Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes. Em Matemática, seqüência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais). Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7. (ANTON, 2000, p. 38 e 40)

SEQÜÊNCIAS Finita As seqüências numéricas podem ser: a) A seqüência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5: (0, 5, 10, 15) (a1, a2, a3, a4) b) A seqüência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto: (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12)

SEQÜÊNCIAS Infinita a) A seqüência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...) b) A seqüência dos números quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)

SEQÜÊNCIAS Crescente Decrescente Seqüência ou Progressão Aritmética (PA) a) (2, 7, 12, 17, ...) 7 – 2 = 5; 12 – 7 = 5; 17 – 12 = 5; ... ou a2 = 7 = 2 + 5; a3 = 12 = 7 + 5; a4 = 17 = 12 + 5; ... b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...) 10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10; ... a2 = 10 = 20 + (– 10); a3 = 0 = 10 + (– 10); a4 = –10 = 0 + (– 10); ... Crescente Decrescente

SEQÜÊNCIAS PA é toda seqüência de números na qual: I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE. Essa constante chama-se RAZÃO (r ).

SEQÜÊNCIAS Seqüência ou Progressão Geométrica (PG) a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes. (1, 3, 9, 27) (a1, a2, a3, a4) Crescente

SEQÜÊNCIAS Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que: a2 = 3 = 1 . 3; a3 = 9 = 3 . 3; a4 = 27 = 9 . 3 b) (512, 128, 32, 8, 2, ...) Decrescente

SEQÜÊNCIAS PG é toda seqüência de números não-nulos na qual: I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE. Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica.

SEQÜÊNCIAS Seqüência formada por uma lei ou função ( )

SEQÜÊNCIAS: Representações Numericamente: (2, 4, 6, ...) Geometricamente

SEQÜÊNCIAS: Representações Graficamente y 6 (3,6) 4 (2,4) 2 (1,2) 1 2 3 x Termo Valor do termo a1= 1 2 a2= 2 4 a3 = 3 6

SEQÜÊNCIAS: Representações Algebricamente f(n) = an = 2n, para n  lΝ/n  1 Por Chaves + 2n n=1

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA Observe as figuras abaixo formadas por palitos. No de triângulos No de palitos 1 3 2 5 7 4 ? . 20 n an = ? a1 = 3 = 3 + 0 a2 = 5 = 3 + 2 a3 = 7 = 3 + 4 a4 = 9 = 3 + 6 = 3 + 0.2 = 3 + 1.2 = 3 + 2.2 = 3 + 3.2 = 3 + (1–1).2 = 3 + (2–1).2 = 3 + (3–1).2 = 3 + (4–1).2

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA . an = 3 + (n – 1) . 2  termo geral dessa PA O termo geral também pode ser expresso como função f(n) = an = 3 + (n – 1) . 2 f(n) = 2n + 1 Generalizando – o termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1) . r

SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA 1) Observe a tabela parcial de pontos de um campeonato paulista. a) Qual é a razão dessa progressão? b) Se na semana seguinte da apresentação da tabela os 5 primeiros colocados ganham 2 pontos cada um, determine a nova seqüência de pontos desses times. Qual é a razão dessa nova seqüência? Colocação Pontos 1. Palmeiras 2. Santos 3. São Paulo 4. Araçatuba 5. Guarani 6. Juventus 7. Corinthians /Portuguesa 8. XV de Jaú 9. Ferroviária 28 25 22 19 16 13 10 7 4 P1: Se somarmos um número aos termos de uma progressão aritmética, o resultado será, ainda, uma progressão aritmética, com razão igual à da original.

SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA 2) Maria comprou uma esteira ergométrica para fazer caminhadas em casa. Seu médico recomendou que não passasse de 10 minutos por dia. No 1º dia, ela manteve uma média de 2,28 km/h e, em 10 minutos, conseguiu andar apenas 380 m. No 2º dia conseguiu caminhar, um pouco mais depressa e nos mesmos 10 minutos andou 400 m. a) Se ela continuar nesse ritmo quanto ela conseguirá andar no 5º dia? b) Qual é a razão da seqüência de metros caminhados?

SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA c) Depois de 1 mês, Maria já estará com melhor preparo físico e dobrará sua marcas da 1ª semana. Assim sendo, determine a seqüência de metros caminhados, dobrando os termos da progressão citado no item (a). d) Quantos metros ela andou no quarto dia após esse mês? e) Qual é a razão dessa nova seqüência? P2: Se multiplicarmos todos os termos de uma progressão aritmética por uma constante, encontraremos outra progressão aritmética. A razão da nova seqüência será igual à razão da anterior multiplicada pela mesma constante.

SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Quantos casulos são necessários para montar o triângulo abaixo? O número de casulos em cada linha representa um termo de uma seqüência aritmética. (1, 2, 3, 4, 5, 6)

SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Sn = [(a1 + an).n]/2

SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an a1 + an a1 + an a1 + an Sn = (a1 + an). Parcelas iguais a a1 + a2

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão. Estágios da divisão No de regiões Original E0 : 0 a1 = 1 E1 : 1 a2 = 3 E2 : 2 a3 = 9 E3 : 3 a4 = 27 . E12: 12 ? En : n an = ? a1 = 1 a2 = 3 a3 = 9 a4 = 27 = 1 . 30 = 1 . 30 = 1 . 30.3 = 1 . 31 = 1 . 31.3 = 1 . 32 = 1 . 32.3 = 1 . 33 = 1 . 31-1 = 1 . 32-1 = 1 . 33-1 = 1 . 34-1 an = 1 . 3n-1

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG an = 1 . 3n-1  Termo geral da PG para esse exemplo dado Generalizando: Como nesse exemplo tínhamos a1 = 1 e q = 3, então an = a1 . qn-1 Onde: an = termo geral; a1 = 1o termo da seqüência; n = no de termos da PG (até an); q = razão.

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27) S = 1 + 3 + 9 + 27 ou 3 = 1 . 3 9 = 3 . 3 27 = 9 . 3 81 = 27 . 3 Assim, 3 . S = 3 + 9 + 27 + 81 – S = 1 + 3 + 9 + 27 3 . S – S = 81 – 1  S = 80 : 2 = 40

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita Generalizando: consideremos uma PG finita (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an) de razão q  1. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I) Multiplicamos ambos os membros por q: Sn.q = a1q + a2q + a3q + ... + an-1q + anq Sn.q = a2 + a3 + ... + an-1 + an + an+1 (II) Como an+1 = a1qn, fazemos (II) – (I): Sn.q – Sn = a1qn – a1  (q – 1)Sn = a1(qn – 1) a2 a3 a4 an

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita Perceba que nessa expressão devemos ter : q  1. Podemos ainda, a partir dessa expressão, obter outra: Perceba que qn é o mesmo que qn -1 . q1:

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG infinita Observe os termos da seqüência (1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) Perceba que, nesse caso, temos uma PG de a1 = 1 e q = 1/2 1 = 1 1/2 = 0,50 1/4 = 0,25 1/8 = 0,12 Perceba que na medida que o número de termos aumenta, o último termo se aproxima de ZERO.

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG infinita Toda PG cuja razão tem valor absoluto menor que 1, apresenta essa característica. Generalizando esse conceito temos: Quando n → ∞ (n tende ao infinito) Teremos que an → 0 (an tende a ZERO) Voltando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG: Perceba que: an . q → 0 (an . q tende a ZERO)

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG infinita Desta forma, teremos que: Que também pode ser escrito como:

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos HISTÓRICO Números Figurados  nos quadrados (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) ( 1, 4, 9, 16, ..., n2, ...) ou 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 ...

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos BIOLOGIA (1, 2, 4, 8, ...) Divisão das amebas

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos MÚSICA Os sons musicais se escrevem por meio de sinais chamados notas Semibreve .............  Semicolcheia .........  Mínima ..................  Fusa .......................  Semínima ..............  Semifusa ...............  Colcheia ................  A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na ordem citada.

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Podemos representar esses valores pela seqüência finita:

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos GEOMETRIA E ÁLGEBRA Área sob a curva y = x2 no intervalo [1,4]. Dividindo esse intervalo em 6 partes iguais e construindo retângulos cuja altura são os valores de x tomados à extrema direita, podemos formam uma seqüência com as áreas desses 6 retângulos: (R1, R2, R3, R4, R5, R6) ( )

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Será que há algum padrão nessa seqüência das áreas dos retângulos?

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos FRACTAIS Waclaw Sierpinski (1882-1969) foi um grande matemático polonês. Em 1916, criou uma curva muito interessante chamada triângulo de Sierpinski. Sua construção consiste em: Original Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Considerando apenas os triângulos brancos obtidos temos a seqüência (1, 3, 9, 27, ...). Essa seqüência é geométrica de razão q = 3.

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Observando o nascimento de coelhos Casal JOVEM Casal ADULTO No de meses No de casais início 1 2 3 4 5 . x x x x x x x

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos A seqüência que fornece o no de casais de coelhos é obtida da seguinte forma: 1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 ... f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão que dá o no de Fibonacci de ordem n) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...) é chamada de seqüência de Fibonacci.

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Retângulo áureo  número de ouro  Seqüencia de Fibonacci A P B 1 1 1 x –1 D Q C x

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Em 1611, Kepler notou que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número  quando se avança para valores cada vez maiores na seqüência. Em termos matemáticos, temos que: f(n)/f(n – 1)   quando n  infinito De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de potências de  segundo a expressão:

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Nos Estados Unidos há uma sociedade matemática chamada Sociedade Fibonacci, que publica artigos trimestralmente e que dirige um centro bibliográfico e de pesquisa sobre aplicações da seqüência de Fibonacci. O matemático Edouard A. Lucas (1842- 1891) apresentou a seqüência (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), que possui o mesmo padrão que a de Fibonacci.

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos QUADRADOS MÁGICOS O primeiro registro, de origem antiga e desconhecida, de um quadrado mágico apareceu na China. Um quadrado numérico é mágico se ele possui n2 números inteiros positivos e diferentes entre si tais que a soma dos n números que figuram nas linhas, colunas e diagonais é constante. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Toda sucessão de n números distintos compreendidos entre 1 e n2 e cuja soma é a constante mágica chama-se seqüência mágica. No quadrado ao lado, a constante mágica é 15 e as seqüências mágicas são: (4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, 6); (4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 7, 6); (4, 5, 6) e (2, 5, 8). 4 9 2 3 5 7 8 1 6

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Considere um quadrado mágico que possui 16 (42) números naturais diferentes (1, 2, ..., 16). Se a constante mágica é 34, complete o quadrado mágico ao lado e escreva as seqüências mágicas. 1 12 7 14 16 15

SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos 1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4

REFERÊNCIAS ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, 1997. DANTE, Luiz R. Contextos e Aplicações. V. Único, São Paulo: Ática, 2000.