Álgebra Linear e Geometria Analítica 8ª aula

Valores Próprios e Vectores Próprios

Definição: Seja  um número real e A uma matriz quadrada nn. Diz-se que  é um valor próprio da matriz A se existir uma matriz coluna não nula Xn1 tal que A X =  X À matriz coluna X chama-se vector próprio associado ao valor próprio .

Exemplo: 3 é valor próprio Um vector próprio associado é

Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?

Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?

Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz? Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0

Definições: (A -  I) – matriz característica de A det (A -  I) – polinómio característico de A det (A -  I) = 0 – equação característica de A

Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz? Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0 então det (A -  I) = 0

Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz? det (A -  I) = 0 então Os valores próprios são as raízes do polinómio característico.

Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2

Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2 Diz-se que  é valor próprio com multiplicidade algébrica 2

Como encontrar o vector próprio associado?

Como encontrar o vector próprio associado? Deve ser tal que – a + b = 0

O conjunto de todos os vectores próprios associados ao mesmo valor próprio é um subespaço vectorial que se designa por subespaço próprio associado a  e se representa por E

No exemplo: Tem um valor próprio  = 3 Os valores próprios associados têm que ser da forma com – a + b = 0

No exemplo:

Definição: Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio à dimensão do subespaço próprio associado

multiplicidade geométrica Teorema: A multiplicidade algébrica de um valor próprio é maior ou igual à sua multiplicidade geométrica

 = 6 é valor próprio de A com multiplicidade algébrica 1

Determinação dos subespaços próprios:

Determinação dos subespaços próprios:

É uma base de 3

Valores próprios e invertibilidade: Seja A uma matriz que tem o valor próprio  = 0 então: det(A – 0 I) = 0  det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível.

Valores próprios e invertibilidade: Seja A uma matriz que tem o valor próprio  = 0 então: det(A – 0 I) = 0  det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível. TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se não tem o valor próprio 0.

Diagonalização de matrizes Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz invertível P tal que B = P-1 A P. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A. PBP-1 = PP-1 A PP-1 PBP-1 = A Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se houver uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que: D = P-1 A P

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I)

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) = det(P-1 A P - P-1 P ) =

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) = det(P-1 A P - P-1 I P ) = det(P-1 (A - I ) P ) =

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P)

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P) = det(P-1) det(P) det (A - I)

Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P) = det(P-1) det(P) det (A - I) = det (A - I)

Teorema: A matriz A-1 tem os valores próprios inversos dos valores próprios de A Seja  valor próprio de A. Então: A X =  X  A-1 A X =  A-1 X  X =  A-1 X Se A é invertível todos os valores próprios são diferentes de 0 X =  A-1 X 

Valores próprios de uma matriz diagonal: Os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da diagonal. EXEMPLO:

Teorema: Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal se e só se existir uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios da matriz D = P-1 A P  PD = AP AP = [ AP1 AP2 . . . APn] AP1 = 1P1 AP2 = 2P2 . . . APn = nPn

Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, existe uma matriz invertível cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébricas e geométricas coincidem.

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A A32 = (P-1 D P) 32 = 32 vezes

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = 32 vezes

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P = 32 vezes

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P = P-1 D I D P . . . P-1 D I D P = 32 vezes

Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P = P-1 D I D P . . . P-1 D I D P = P-1 D32 P 32 vezes