BCC101 Matemática Discreta I CS2603 - Applied Logic, University of Oklahoma BCC101 Matemática Discreta I Lógica Proposicional Dedução 1

Implicação e Dedução Tabela-verdade de  False  False = True False  True = True True  True = True True  False = False Raciocínio Dedutivo: das hipóteses para a conclusão Hipótese 1: x = True, Hipótese 2: x  y = True Conclusão: y = True Porque? Bem … suponha y = False {suposição} Então poderíamos provar que False = True, pelo seguinte argumento False = True  False { tabela-verdade} = x  False {hipótese 1} = x  y {suposição} = True {hipótese 2} Não podemos aceitar a equação True = False Portanto, devemos aceitar que y = True se x  y = True e x = True Implicação possibilita dedução Deduzimos y = True de x = True e x  y = True Esta "regra de inferência” é chamada "modus ponens” Tautologia: ((x  (x  y))  y) = True

Regras de Inferência e tautologias correspondentes Regras de Eliminação Regras de Introdução x x  y y {E} (modus ponens) [x] |– y x  y {I} ((x  y)  (x  y)) = True ((x  (x  y))  y) = True tautologia correspondente {E1} x  y x {I} x y x  y ((x  y)  (x  y)) = True ((x  y)  x) = True {E2} x  y y {I1} x x  y (x  (x  y)) = True ((x  y)  y) = True x  y [x] |– z [y] |– z z {E} {I2} y x  y (y  (x  y)) = True (((x  y)  (x  z)  (y  z))  z) = True Outras Regras {ID} x (x  x) = True [x] |– False x {RAA} {CTR} False x (False  x) = True (((x)  False)  x) = True

Teorema e Prova Teorema ( Comuta) a  b |– b  a Prova a  b {E2} é OK reusar uma hipótese do teorema Teorema ( Comuta) a  b |– b  a casa com a hipótese 2 provas para aplicar a regra I Prova prova de (a  b) |– b prova de (a  b) |– a hipótese a  b {E2} b a  b {E1} a Usa a regra E2  {I} b  a Provas acima da linha Conclusão abaixo da linha {regra} Dedução Natural Provas formam uma estrutura de árvore: Folhas = hipóteses Raiz = conclusão Regras de Inferência = ramos  {I} a  b a b

Transitividade da Implicação Teorema (Transitividade da Implicação) ab, bc |– ac Suponha que podemos obter uma prova para: a |– c Então a regra I nos permitiria concluir ac Estratégia Suponha a Prove: a |– c Conclua ac (aplicando a regra I) prova Obtemos o teorema a partir da prova Basta examinar as folhas e a raiz folhas restantes são as hipóteses a ab {E} b hipótese admitida temporariamente descarregada bc {E} c {I} ac a raiz é a conclusão por I 5

Ou Comuta Teorema (Ou Comuta) a  b |– b  a Suponha Que podemos provar o teorema: a |– b  a E podemos também provar o teorema: b |– b  a Então, aplicando a regra E, concluímos b  a de a  b premissas temporárias descarregada por E  b  a a {I2} b  a  b  a b {I1} b  a hipótese restante a  b {E} b  a conclusão x {I1} x  y Ou Intro 1 y {I2} x  y Ou Intro 2 x  y [x] |– z [y] |– z {E} z Ou Eliminação

Modus Tollens Teorema (Modus Tollens) a  b, b |– a Convenção do sistema de dedução natural a é uma abreviação para a  False a  b b  False { transitividade} a  False x -> y ¬y  {modus tollens} ¬x regra derivada

Convenção de dedução natural Negação Convenção de dedução natural a é uma abreviação para a  False x x  y y {E} [x] |– y x  y {I} x x  False False {E} [x] |– False x  False {I} x x False {E} [x] |– False x {I} Não Eliminação Não Introdução

Exercício Prove o seguinte sequente: a  b, b  c |– c x x  y y {E} {E1} x  y x {E2} x  y [x] |– z [y] |– z z {E} [x] |– y x  y {I} {I} x y {I1} x  y {I2} [x] |– False {RAA} {ID} {CTR} False Regras de Inferência x é uma abreviação para xFalse a  b {E2} b b  c { E} c

Exercício Prove o seguinte sequente: a  b, a  c, b  d |– c  d x x  y y {E} {E1} x  y x {E2} x  y [x] |– z [y] |– z z {E} [x] |– y x  y {I} {I} x y {I1} x  y {I2} [x] |– False {RAA} {ID} {CTR} False Regras de Inferência x é uma abreviação para xFalse a  b a  b {E2} {E2} a a  c b b  d { E} { E} c d {I} c  d