Cláusulas Conjuntos de cláusulas Cláusula: conjunto finito de literais C1= {ØSmall(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Cláusula vazia: Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h não é satisfeita por qualquer atribuição C ¹ : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h’ Satisfação de um conjunto S de cláusulas S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h’

Resolução Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível: mostrar que um conjunto maior S’ obtido do primeiro também não o é válido desde que S e S’ sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas atribuições Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível transformar S num conjunto de cláusulas disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais conjunção passa a conjunto de cláusulas adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições se chegarmos a um conjunto que contém , a frase inicial não é satisfazível

Resolventes Exemplo1 Exemplo2 C1= {ØSmall(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de Cube(a) Backof(b,a) Cube(b) C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2 {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2} Exemplo2 C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)} C2= {ØNaSala(Rui)} C3= {ØNaSala(Ana)} Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz C4 = {NaSala(Rui)} {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível

Resolvente Definição: (resolvente) Exemplos R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas. Exemplos {A,D} {ØA} {D} {A, ØA} {A} {A} {D} {ØD} { } {B,C} {ØB, ØD} {C, ØD}

Correcção da resolução Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a . Exemplo ØA Ù (B Ú C Ú B) Ù (ØC Ú ØD) Ù (A Ú D) Ù (ØB Ú ØD) Conversão em conjunto de cláusulas {ØA}, {B, C}, {ØC, ØD}, {A, D}, {ØB, ØD} Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível {B,C} {ØC, ØD} {B, ØD} {A,D} {ØA} {D} {ØB, ØD} {ØD}

Consequência lógica Provar consequência lógica usando resolução Para mostrar que C é consequência lógica de P1, P2, …, Pn Usar resolução para provar que P1 Ù P2 Ù … Ù Pn Ù ØC não é satisfazível reduzir a forma normal conjuntiva converter em conjunto de cláusulas aplicar resolução

Forma condicional Em geral Casos particulares (NaSala(Ana) Ù NaSala(Rui)) ® Feliz(Luis) Substituindo o condicional pela sua definição em termos de Ø e Ú ØNaSala(Ana) Ú ØNaSala(Rui) Ú Feliz(Luis) obtém-se uma disjunção com um só literal positivo Em geral frase de Horn é conjunção de frases cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos ØA1 Ú ØA2 Ú … Ú ØAn Ú B pode ser reescrita como (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® B Casos particulares Disjunção sem literal positivo: (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® False Disjunção sem literais negativos: True ® B

Forma condicional de frase de Horn Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® B (A1 Ù A2 Ù … Ù An) ® False True ® B Resolução: proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965) apropriado para a demonstração automática de teoremas problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais: a transformação em CNF é imediata