Lógica Auto-epistémica Proposta por Moore (1985) Contempla reflecção sobre conhecimento próprio (auto-epistémico) Permite falar não só do mundo exterior, como também do conhecimento que tenho dele.

Sintaxe de AEL Lógica de 1ª ordem, mais operador L (aplicado a formúlas) L j significa “sei j” Exemplos: lugar → L lugar (ou  L lugar →  lugar) jovem(X)  L est (X) → est (X)

Significado de AEL O que é que sei? E o que é que não sei? Aquilo que consigo derivar (em todos os modelos) E o que é que não sei? Aquilo que não consigo derivar Mas aquilo que se deriva depende do que sei Adiocinar conhecimento, e depois testar

Semântica AEL T* é expansão de teoria T sse T* = Th(T{Lj : T* |= j}  {Lj : T* |≠ j}) Assumindo a regra de inferência j/Lj : T* = CnAEL(T  {Lj : T* |≠ j}) Uma teoria AEL é sempre a dois valores em L, ou seja, para toda a expansão:  j | Lj  T*  Lj  T*

Conhecimento vs Crenças Crenças é um conceito mais fraco Para toda a fórmula, ou sei ou não sei Podem haver fórmulas em que não acredito, nem no seu contrário Lógica auto-epistémica de conhecimento e crenças (AEB), introduz também operador Bj – acredito em j.

Exemplo AELB Alugo filme se acredito que nem vou ao baseball nem ao futebol Bbaseball  Bfutebol → alugar_filme Não compro bilhetes se não sei que vou ao baseball nem sei que vou ao futebol  L baseball   L futebol → comprar_bilh Vou ao futebol ou ao baseball baseball  futebol Devo concluir que alugo filme, mas não compro bilhetes

Axiomas sobre crenças Axioma da consistência B Axioma de normalidade B(F → G) → (B F → B G) Regra de necessitação F B F

Modelos minimais Em que é que eu acredito? Naquilo que faz parte de todos os modelos preferidos Quais os modelos preferidos? Os que para um mesmo conjunto de crenças, tem um número mínimo de coisas verdadeiras Um modelo M é minimal sse não existe modelo menos N, coincidente com M em átomos Bj e Lj Se j é verdadeiro em todos os modelos minimais de T, escrevo T |=min j

T* = CnAELB(T  {Lj : T* |≠ j} Expansões AELB T* é expansão estática de T sse T* = CnAELB(T  {Lj : T* |≠ j}  {Bj : T* |=min j}) onde CnAELB denota o fecho usando os axiomas de AELB mais a necessitação para L

onde YT(T*) = CnAEB(T  {Bj : T* |=min j}) Caso particular de AEB Pelas suas propriedades, o caso de teorias sem operador de conhecimento é especialmente interessante. Nesse caso, a definição de expansão fica: T* = YT(T*) onde YT(T*) = CnAEB(T  {Bj : T* |=min j}) e CnAEB denota o fecho usando os axiomas de AEB

Menor expansão Teorema: O operador Y é monotónico, i.e. T  T1  T2 → YT(T1)  YT(T2) Logo existe sempre uma expansão mínima de T, que se pode obter por indução transfinita: T0 = CnAEB(T) Ti+1 = YT(Ti) Tb = Ua < b Ta (para ordinais limite b)

Consequências Toda a teoria AEB tem pelo menos uma expansão Se a teoria é afirmativa (i.e. todas as cláusulas têm pelo menor um literal positivo) então tem pelo menos uma expansão consistente. Há procedimento para calcular a semântica