Equações do 2º grau

Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma com a, b e c  IR e

Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma com a, b e c  IR e

Observa que: a representa o coeficiente de  x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

Exemplos  É uma equação do 2º grau 

Exemplo 1(×2) 1(×2) É uma equação do 1º grau

Exemplos de equações do 2º grau: Equação do 2º grau completa a=2, b=4 e c=3 a=4, b= -5 e c=0 a=1, b=0 e c= -36 Equações do 2º grau incompletas

Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4. Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) 3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano) Problema 1: Determina o perímetro de um triângulo rectângulo de catetos 6 cm e 8 cm. Resolução: 1º) Desenhar o triângulo rectângulo e equacionar o problema. 6 8

2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta 3º) Verificar se a ou as soluções da equação são ou não solução do problema. 4º) Dar resposta ao problema R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm -10 não é solução do problema

Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano) Problema 2: Resolve a seguinte equação, aplicando a Lei do Anulamento do Produto: Recorda: Lei do Anulamento do Produto – Um produto é zero se e só se um dos seus factores for nulo, isto é,

Resolução: 1º) Factorizar o 1º membro; 2º) Aplicar a Lei do Anulamento do Produto; 3º) Resolver cada uma das equações do 1º grau e determinar o conjunto-solução

Observação: Para resolver equações do 2º grau incompletas, aplicando a lei do anulamento do produto, é necessário que o 2º membro da equação seja 0 (zero) e que o 1º membro da equação seja um produto. Para isso, deves rever a factorização de polinómios que aprendeste no 8º ano e recordar os Casos Notáveis da Multiplicação.

Por aplicação dos casos notáveis da multiplicação é possível resolver equações de 2.º grau completas, transformando-as num produto de equações de 1.º grau e aplicar a Lei do Anulamento do produto. Repara no seguinte exemplo: (x + 4)(x + 4) = 0

Dividir ambos os membros da equação por a ≠ 0 Adicionar a ambos os membros da equação Passar para o 2º membro o termo Factorizar o 1º membro da equação, usando os casos notáveis da multiplicação

Reduzimos o 2º membro ao mesmo denominador e escrevemos na forma de uma única fracção Retiramos o quadrado do 1º membro com a noção de raiz quadrada Isolamos a incógnita x e calculamos a raiz do denominador Fórmula Resolvente

Para resolver uma equação do 2º grau, basta aplicar a fórmula resolvente, isto é: com a , b e c  IR e a ≠ 0

Vejamos um exercício prático: Aplicando a F.R.

Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √Δ não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √Δ 2a x” = - b - √Δ x’ = x” = -b As raízes da equação não são números reais.