Adição e subtração de arcos

Adição e subtração de arcos Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α + β) = sen α + sen β? A partir dos valores do seno e do co-seno de dois arcos, podemos obter o seno e o co-seno de sua soma ou de sua diferença. sen (30º + 60º) = sen 30º + sen 60º = 1/2 + √3/2 = (1 + √3)/2 (F)

Adição de subtração de arcos sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

Adição de subtração de arcos tg (a + b) = tg a + tg b 1 – tg a . tg b tg (a – b) = tg a – tg b 1 + tg a . tg b sen (a + b) tg (a + b) = cos (a + b) sen (a – b) tg (a – b) = cos (a – b)

Exemplos Utilizando a fórmula de soma e diferença de arcos, calcular sen 15º e cos 105º. ⇒ sen 15 = sen (45 – 30) 15º = 45º – 30º sen (45 – 30) = sen 45 . cos 30 – sen 30 . cos 45 sen (45 – 30) = √2/2 . √3/2 – 1/2 . √2/2 = (√6 – √2)/4 ⇒ cos 105 = cos (60 + 45) 105º = 60º + 45º cos (60 + 45) = cos 60 . cos 45 – sen 60 . sen 45 sen (60 + 45) = 1/2 . √2/2 – √3/2 . √2/2 = (√2 – √6)/4

Exemplos Sendo cos x = 5/13, x do 3º quadrante, calcular sen (x + 30º). sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x + (5/13)2 = 1 ⇒ sen2 x = 1 – 25/169 ⇒ sen2 x = 144/169 ⇒ sen x = – 12/13 (3º. Quadrante) sen (x + 30) = sen x . cos 30 – sen 30 . cos x sen (x + 30) = –12/13.√3/2 + 1/2.(–5/13) sen (x + 30) = (–12√3 – 5)/26

Exemplos Sabendo que tg a = 3 e tg b = 2, calcule cotg (a – b). 1 tg a – tg b 3 – 2 1 tg (a – b) = = = 1 + tg a . tg b 1 + 3.2 7 cotg (a – b) = 7

Arco duplo

Arco duplo Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco. Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b Fazendo b = a nas duas fórmulas, sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 sen a . cos a cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a

Arco duplo Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco. Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. tg a + tg b tg (a + b) = 1 – tg a . tg b Fazendo b = a na fórmula acima, tg a + tg a 2tg a tg (a + a) = = 1 – tg a . tg a 1 – tg2 a

Arco duplo sen 2a = 2 sen a . cos a cos 2a = cos2 a – sen2 a 2tg a

Arco duplo Observação Lembrando que sen2 a + cos2 a = 1, temos cos 2a = cos2 a – sen2 a cos 2a = 1 – 2 sen2 a cos 2a = 2 cos2 a – 1

Transformação em produto

Transformação em produto Como calcular as somas e diferenças abaixo? sen p + sen q, sen p – sen q, cos p + cos q e cos p – cos q. Em muitas ocasiões, é importante transformar somas e diferenças de senos e co-senos em produtos. As fórmulas de seno e co-seno da soma e diferença de arcos nos ajudam.

Transformação em produto sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV) Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (I) e (II). Obtemos: sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a

Transformação em produto sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV) Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (III) e (IV). Obtemos: cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b

Transformação em produto sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b a + b = p p + q p – q ⇒ a = e b = a – b = q 2 2

Transformação em produto sen p + sen q = 2 sen . cos p + q 2 p – q sen p – sen q = 2 cos . sen cos p + cos q = 2 cos . cos cos p – cos q = –2 sen . cos

Exemplos Fatorar as expressões abaixo a) sen 40º + sen 20º b) sen 20º – sen 10º c) cos 80º + cos 20º d) cos 70º – cos 50º e) cos 50º + sen 80º f) 1 + cos 20º

Exemplos Fatorar as expressões abaixo a) sen 40º + sen 20º = 2 sen (40 + 20)/2 . cos (40 – 20)/2 = 2 sen 30 . cos 10 = 2 . 1/2 . cos 10 = cos 10º.

Exemplos Fatorar as expressões abaixo b) sen 20º – sen 10º = 2 cos (20 + 10)/2 . sen (20 – 10)/2 = 2 cos 15º . sen 5º. c) cos 80º + cos 20º = 2 cos (80 + 20)/2 . cos (80 – 20)/2 = 2 cos 50 . cos 30 = 2 cos 50 . √3/2 = √3 . cos 50º.

Exemplos Fatorar as expressões abaixo d) cos 70º – cos 50º = – 2 sen (70 + 50)/2 . sen (70 – 50)/2 = – 2 sen 60 . sen 10 = 2 . √3/2 . sen 10 = – √3 . sen 10º.

Exemplos Fatorar as expressões abaixo e) cos 50º + sen 80º = cos 50º + cos 10º = 2 cos (50 + 10)/2 . cos (50 – 10)/2 = 2 cos 30 . cos 20 = 2 . 1/2 . cos 20 = cos 20º.

Exemplos Fatorar as expressões abaixo f) 1 + cos 20º = cos 0º + cos 20º = 2 cos (0 + 20)/2 . cos (0 – 20)/2 = 2 cos 10 . cos (–10) = 2 cos 10 . cos 10 = 2 cos2 10º.

Exemplos Fatorar as expressões y = sen a + 2 sen 2a + sen 3a. y = 2 sen (a + 3a)/2 . cos (a – 3a)/2 + 2 sen 2a y = 2 sen 2a . cos (–a) + 2 sen 2a y = 2 sen 2a . cos a + 2 sen 2a y = 2 sen 2a . (cos a + 1) = 2 sen 2a . (cos a + cos 0) y = 2 sen 2a . [2 cos (a + 0)/2 . cos (a – 0)/2] y = 4 sen 2a . cos2 (a/2)