Equação de um lugar geométrico (LG)

Definição de lugar geométrico (LG) Um conjunto de pontos que possuem com exclusividade uma determinada propriedade e somente eles a possuem é denominado de lugar geométrico (LG). Propriedade essa que pode ser traduzida por uma relação matemática.

Exemplos de lugares geométricos planos Uma circunferência de centro O e raio R é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância R do ponto O. P1 P3 R R O R OP1 = OP2 = OP3 = ... = R P2

Exemplos de lugares geométricos planos Uma reta de um plano que passa por dois pontos A e B é o lugar geométrico dos pontos do plano alinhados com A e B. r B P3 A P2 P1 P1 , P2 , P3 , ... estão alinhados com A e B.

Exemplos de lugares geométricos planos A mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam dos extremos do segmento AB. r P1 P1A = P1B P2 P2A = P2B A B P3A = P3B . . . . . . . . . P3

Exemplos de lugares geométricos planos Dados uma reta r e um ponto F, o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de r e F é uma parábola. r P1 A1 P1A1 = P1F P2 A2 P2A2 = P2F A3 P3 F P3A3 = P3F A4 P4 . . . . . . . . . .

Exemplos de lugares geométricos planos A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam dos seus lados. A A3 P1A1 = P1B1 A2 A1 P2A2 = P2B2 x  P3A3 = P3B3 O  P1 P2 P3 . . . . . . . . . B1 B2 B3 B Os pontos da bissetriz OX eqüidistam dos lados AO e OB.

Equação de um lugar geométrico (LG) Quando um lugar geométrico está contido num sistema xOy de coordenadas cartesianas, ele pode ser associado a uma equação de variáveis x e y. Chamada equação do lugar geométrico.

Equação de um lugar geométrico (LG) De maneira geral, a equação do lugar geométrico é obtida assim: toma-se um ponto genérico P(x, y) do lugar geométrico; escreve-se a relação matemática que expressa a propriedade que caracteriza os pontos P do lugar; finalmente chega-se à equação do lugar geométrico nas variáveis x e y.

Exemplos Dados os pontos A(1, 3) e B(4, 1), obter a equação da reta r, mediatriz do segmento AB. r y PA = PB P(x,y) A 3 –2x + 1 – 6x + 9 = –8x + 16 – 2y + 1 1 B 6x + 2y – 7 = 0 1 4 x

Exemplos Achar a equação da circunferência de centro no ponto O(4, 3) e raio 2. y OP = 3 P(x,y) 3 3 O x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 0 x2 + y2 – 8x – 6y + 25 = 0 4 x

P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados Exemplos Encontrar a equação da reta determinada pelos pontos A(0, 1) e B(2, 3). P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados y r x y 1 2 3 P(x,y) B = 0 3 1 A –2x + 2y – 2 = 0 : (–2) 2 x x – y + 1 = 0

Exemplos Dado o ponto F(3, 4), obter a equação da parábola p com foco em F e diretriz no eixo x. FP = Px y F 4 p x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = y2 P(x,y) x2 – 6x + – 8y + 25 = 0 3 x

Exemplos Obter a equação do LG dos pontos do plano cuja distância ao eixo x é o dobro da distância ao eixo y. P(x, y) ∊ LG ⇒ Px = Py y r1 r2 | y | = 2| x | 2 A B y2 = 4x2 ⇒ y2 – 4x2 = 0 –1 1 x ⇒ (y + 2x).(y – 2x) = 0 D C –2 ⇒ y + 2x = 0 ou y – 2x = 0

Exemplos Obter a equação do LG dos pontos do plano cuja distância ao ponto A(1, 2) é o dobro da distância à origem. P(x, y) ∊ LG ⇒ PA = 2PO y 1 x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 4(x2 + y2) x –3x2 – 3y2 – 2x – 4y + 5 = 0 3x2 + 3y2 + 2x +4y – 5 =0

Pontos de um lugar geométrico Para que um ponto pertença a um lugar geométrico, suas coordenadas devem verificar sua equação.

Exemplos Verifique se o ponto A(1, 6) pertence à circunferência de centro C(3, 4) e raio √8. CP = √8 Fazendo x = 1 e y = 6 na equação da circunferência, temos (1 – 3)2 + (6 – 4)2 = 8 ⇒ (–2)2 + (2)2 = 8 Portanto, A(1, 6) pertence ao L.G.

Exemplos Verificar se o ponto O(0, 0) pertence ao lugar geométrico cuja equação é x2 + y2 – √3x + √7y = 0. Fazendo x = 0 e y = 0 na equação dada, temos (0)2 + (0)2 – √3.0 + √7.0 = 0 Logo, O(0, 0) pertence ao L.G.