ROTAÇÃO DE CÔNICAS UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA) DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS (DCA) CURSO: BACHARELADO em CIÊNCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA ROTAÇÃO DE CÔNICAS Prof. Dr:  Walter Martins Rodrigues   MOSSORÓ - 24 NOVEMBRO de 2008

INTRODUÇÃO Neste trabalho apresentamos um estudo teórico das rotações das cônicas Conhecer o conceito de rotação Saber determinar o ângulo de rotação Identificar a equação reduzida são os principais elementos deste estudo para quaisquer engenheiros

ELEMENTOS DE UMA ELIPSE         focos : os pontos F1 e F2          centro: o ponto O, que é o ponto médio de         semi-eixo maior: a         semi-eixo menor: b         semidistância focal: c         vértices: os pontos A1, A2, B1, B2         eixo maior:         eixo menor:         distância focal:

ELEMENTOS DE UMA ELIPSE         focos : os pontos F1 e F2          centro: o ponto O, que é o ponto médio de         semi-eixo maior: a         semi-eixo menor: b         semidistância focal: c         vértices: os pontos A1, A2, B1, B2         eixo maior:         eixo menor:         distância focal:

Equação da Elipse com F1F2 paralela ao eixo X   Translacao: Equação para elipse em que F1F2 é paralelo ao eixo x. Seja C(x0, y0) o centro da elipse; então, as coordenadas dos focos são: F1(x0 + c, y0) e F2(x0 – c, y0). Para um ponto P(x, y) qualquer da elipse, temos:

ELEMENTOS DE UMA HIPÉRBOLE

Equação da Hipérbole com F1F2 paralela ao eixo X Seja C(xo , yo) o centro da hipérbole; então os focos são: Para um ponto qualquer P da hipérbole, temos:

Equação da Hipérbole com F1F2 paralela ao eixo Y Seja c(xo, yo) o centro da hipérbole, então os focos são. Para um ponto qualquer P(x, y) da hipérbole temos:

PARÁBOLA Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano , com F d, seja P a distancia entre F e d, parábola é o conjunto dos pontos de, que estão a mesma distancia de F e de d. Parábola = PF = Pd  

ELEMENTOS DE UMA PARÁBOLA d: reta diretriz (reta fixa); F: Foco (ponto fixo); = p > 0: parâmetro VF: eixo de simetria; V: Vértice ( ponto médio de FB, FB ┴ d e B Є d) Sendo p o parâmetro da parábola, BF = p, BV = .

Equação da Parábola com diretriz d paralela ao eixo Y e o foco à direita de d Seja V(xo, yo), o vértice da parábola, então: o foco é . Para um ponto P(x,y) da parábola. Temos.

temos: Desenvolvendo, temos: Que é a equação da parábola, quando a diretriz d esta paralela ao eixo y e o foco a direita de d. Quando se considera p sendo a distância do vértice ao foco temos:

CONSIDERAÇÕES GERAIS da aula ANTERIOR As cônicas acima não estão rotacionadas De modo geral cônicas podem ser expressas por equações do tipo: A matriz associada a cônica é:

Translação de Centro: Operando com as equações quadráticas O centro da cônica, se existir, pode ser determinado pelo sistema linear: O novo termo independente da cônica transladada é A equação da cônica transladada será:

Rotação de cônicas A rotação por um ângulo  (sentido anti-horário) é simplesmente mudar da base canônica {(1,0), (0,1)} para a base {(cos(), sen()),(-sen(),cos())}, 0  /2 Portanto, a matriz de mudança de bases neste processo é: Após a rotação definida pelo ângulo definido pelo coeficiente angular da reta que passa por um foco e vértice o termo B é eliminado, mas os outros termos serão combinações lineares desta nova base.

Equação após uma rotação Observe que o termo independente não muda e que os lineares também não se a equação já estiver transladada

Simplificações importantes Qual o ângulo  que permite eliminar o termo mixto B com uma rotação: Como fica a nova equação:

Determinação dos parâmetros  Este processo simplificado evita o trabalho excessivo com equações trigonométricas

Conseqüências do processo Há um indicador para o tipo da equação Elíptico: se Parabólico: se Hiperbólico: se Este tipo de classificação ainda é abstrato, uma vez que estas equações podem ser cônicas degeneradas.