Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin Aula 11

Representações de Fourier para Sinais Os sinais podem ser representados por uma combinação ponderada de senóides complexas Tais sinais, quando aplicados a um sistema linear, proporciona uma saída que é a superposição ponderada das respostas do sistema a cada senóide complexa O estudo de sinais e sistemas usando representações senoidais é denominado análise de Fourier Os métodos de Fourier têm aplicação difundida, indo além dos sinais e sistemas, sendo usados em todos os ramos da engenharia e da ciência Aula 11

Senóides Complexas e Sistema LTI Vimos no capítulo anterior que, a entrada resulta na saída em que Aula 11

Senóides Complexas e Sistema LTI Vimos no capítulo anterior que, a entrada resulta na saída em que Aula 11

Senóides Complexas e Sistema LTI Dizemos que a senóide complexa é uma autofunção do sistema H associado com o autovalor porque ela satisfaz um problema de autovalor descrito por Isto significa que o sistema provoca o efeito de uma multiplicação por um escalar em uma função de entrada de autofunção, tais como são as senóides complexas. Aula 11

Senóides Complexas e Sistema LTI Observe que se representarmos um sinal arbitrário como sendo uma superposição ponderada de autofunções, então podemos transformar as complicadas operações de convolução em simples operações de multiplicação. Considere a entrada em um sistema LTI como sendo a soma ponderada de M senóides complexas Aula 11

Senóides Complexas e Sistema LTI Se for uma autofunção do sistema com autovalor H(jωk), então cada termo da entrada Produz um termo de saída , de modo que Ou seja, a saída é uma soma ponderada de M senóides complexas, sendo os pesos ak modificados pelas respostas em frequência do sistema, H(jωk), de modo que a operação de convolução, h(t)*x(t), torna-se uma operação de multiplicação por Aula 11

Representações de Fourier para Quatro Classes de Sinais Propriedade de Tempo Periódica Não Periódica Contínuo Série de Fourier (FS) Transformada de Fourier (FT) Discreto Série de Fourier de Tempo Discreto (DTFS) Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Considere representar um sinal periódico como uma superposição ponderada de senóides complexas A superposição deve ter o mesmo período que o sinal, de modo que cada senóide da superposição deve ter o mesmo período do sinal Isto significa que a frequência de cada senóide deve ser um múltiplo inteiro da frequência fundamental do sinal Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Se x[n] for um sinal de período fundamental N, então procuramos representá-lo pela DTFS em que Ω0=2π/N é a frequência fundamental de x[n]. A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por kΩ0 Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier De forma similar, se x(t) for um sinal de período fundamental T, então procuramos representá-lo pela FS em que ω0=2π/T é a frequência fundamental de x(t). A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por kω0 Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier FS: DTFS: Quantos termos e pesos devemos usar em cada soma? Portanto, há somente N senóides complexas distintas da forma Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Um conjunto único de N senóides complexas distintas é obtido admitindo-se que o índice de frequência assuma quaisquer N valores consecutivos, de modo que onde a notação k=(N) indica que k varia ao longo de quaisquer N valores consecutivos, sendo tais valores normalmente escolhidos de modo a simplificar o problema através da exploração de simetrias do sinal. Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier Tipos de Simetrias Escolhas comuns Simetria Par K=0 a k=N-1 Simetria Ímpar K=-N/2 a k=N/2-1 Aula 11

Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier As senóides complexas de tempo contínuo possuem frequências kω0 sempre distintas. Consequentemente, há potencialmente um número infinito de termos distintos na FS Aproximamos x(t) como Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Para determinar os pesos ou coeficientes A(k), minimizaremos o Erro Quadrático Médio (MSE) entre o sinal e sua representação em série. Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Seja c um número complexo qualquer. Então |c|2=cc*. Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Definindo então Completando o quadrado, temos Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Portanto, a dependência que o MSE tem com os coeficientes desconhecidos A[k] se reduz ao termo do meio. Consequentemente, o MSE é minimizado forçando o termo do meio tender a zero ou A[k]->x[k] Se A[k]=X[k], então MSE=0 Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como A partir de N valores de X[k] podemos determinar x[n], e vice-versa Veremos que as vezes é mais conveniente representar o sinal através de x[n] e as vezes através dos coeficientes X[k] da DTFS Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Exemplo 3.1: Encontre a representação por DTFS para Solução: O período fundamental é N=16. Consequentemente, Ω0=2π/16 . Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Igualando com a DTFS, com k iniciando em -7, isto é então, temos que Todos os componentes de x[n] estão concentrados em duas frequências, Ω0 e –Ω0. Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Desde que N=16, então X[15]=X[31]=...=(1/2)e-jΦ e, similarmente, X[17]=X[33]=...=(1/2)ejΦ com todos os outros valores de X[k] iguais a zero Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Exemplo 3.2: Encontre os coeficientes da DTFS para a onda quadrada com período N mostrada a seguir Solução: O período é N, de forma que Ω0=2π/N. É conveniente, para este caso, avaliar a DTFS em n=-M até n=N-M-1. Dessa forma temos Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Fazendo a mudança m=n+M, então A soma da série geométrica produzirá Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Que pode ser reescrito como Dividindo o numerador e o denominador por 2j, temos Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Substituindo Ω0=2π/N, temos Usando a regra de L’Hopital, temos que Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Supondo N=50 e M=4, então temos a seguinte DTFS Aula 11

Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS Supondo N=50 e M=12, então temos a seguinte DTFS Aula 11