Ivan Saraiva Silva Aula 1 - Álgebra Booleana Circuitos Lógicos Ivan Saraiva Silva Aula 1 - Álgebra Booleana

Álgebra Booleana Uma álgebra é definida por: Um conjunto de operações válidas Um conjunto de valores que cada variável pode assumir

Álgebra Booleana de Chaveamento Álgebras Booleanas • variáveis, constantes • valores de variáveis e constantes: conjunto discreto e finito • operadores “+”, “.”, “complemento” definidos sobre as constantes • elementos neutros para cada operador Álgebra Booleana de Chaveamento • valores 0 e 1 • operadores “+”, “.”, “complemento” definidos sobre 0 e 1 A B A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B A . B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A A 0 1 1 0 “O” “falso” “1” “verdadeiro” • “0” é o elemento neutro do operador “+” • “1” é o elemento neutro do operador “.” “+” “or” “.” “and”

Axiomas e Teoremas da Álgebra Booleana de Chaveamento 1. A + 0 = A 2. A . 1 = A 3. A + 1 = 1 5. A + A = A 7. A + A = 1 9. A = A 10. A +B = B + A 12. A + (B + C) = (A+ B) + C 14. A . (B + C) = AB + AC 16. A +B = A . B 4. A . 0 = 0 6. A . A = A 8. A . A = 0 11. A.B = B.A 13. X(YZ) = (X.Y)Z 15. A +BC = (A + B).(A+C) 17. A . B = A + B Lei comutativa Lei associativa Lei distributiva DeMorgan

Dual de uma expressão algébrica trocar OR AND trocar 0 1 Encontrar a expressão dual significa encontrar a expressão negada Assim se X = AB + C a expressão dual de X é X. Aplicando-se DeMorgan encontra-se A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 X X 0 1 1 0 X = AB + C X = AB + C X = (A + B).C

Avaliação de Expressões Booleanas Criar uma tabela verdade para a expressão Uma tabela verdade é uma tabela que para cada combinação possível de valores das variáveis de entrada mostra o resultado da expressão Identificar as variáveis de entrada Para cada variável de entrada, destinar uma coluna mais à esquerda, na tabela-verdade Criar colunas à direita, conforme a ordem de precedência das operações contidas na equação que se está avaliando

Avaliação de Expressões Booleanas Ordem de Avaliação de Expressões Booleanas (Ordem Precedência dos Operadores) Do nível de parêntesis mais interno para o nível mais externo 1. Complemento de variável individual 2. Operação “E” 3. Operação “OU” OBS: complemento de expressão deve ser analisado assim que a expressão a ser complementada for avaliada.

Avaliação de Funções Booleanas Construção de uma Tabela-Verdade Exemplo: F (A,B) = com n entradas uma função tem 2n combinações de valores possíveis. A B F(A,B) 0 0 0 1 1 0 1 1 Avaliação da função Atribuir valores as variáveis na tabela Avaliar AND, OR, complemento na ordem estabelecida Exemplo: DeMorgan X + Y = X . Y X Y X Y X . Y 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 X Y X+Y X+Y 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 As 2 tabelas-verdade são idênticas, portanto a igualdade das funções é verdadeira

Funções Booleanas e Circuitos Lógicos Circuitos Lógicos Dada uma equação que representa uma função Booleana, é possível representá-la graficamente, por meio de uma associação apropriada de portas lógicas. Esta associação recebe o nome de circuito lógico. Com o desenho do circuito lógico, é possível implementar fisicamente uma função Booleana. O desenho de um circuito lógico deve obedecer à ordem de precedência das operações mostradas na equação lógica que se deseja implementar.

F Funções Booleanas e Circuitos Lógicos literais X Y Z X . Y . Z + X . Y . Z + X . Z termo literais Pode-se obter um circuito da seguinte maneira cada termo é uma porta cada literal é uma entrada para uma porta portas adicionais : inversores na entrada composição dos termos (1 AND ou 1 OR) Cada ocorrência de variável (complementada ou não) X F Y Z O número de termos e literais dá uma medida aproximada da complexidade do circuito. 6 portas 3 portas de 3 entradas 1 porta de 2 entradas 2 portas de 1 entrada 6 termos 8 literais lit. invertidos No exemplo:

Exemplo: desenhe o circuito lógico para a equação F = X • (Y + Z) Funções Booleanas e Circuitos Lógicos Exemplo: desenhe o circuito lógico para a equação F = X • (Y + Z) Passo 1: Desenhar a porta inversora que implementa Z. Z Z

Exemplo: desenhe o circuito lógico para a equação F = X • (Y + Z) Funções Booleanas e Circuitos Lógicos Exemplo: desenhe o circuito lógico para a equação F = X • (Y + Z) Passo 1: Desenhar a porta inversora que implementa Z. Passo 2: Desenhar a porta “OU” que implementa (Y + Z). Z Z Z (Y + Z) Y

Funções Booleanas e Circuitos Lógicos Passo 3: Desenhar a porta “E” que implementa X • (Y + Z). Exercício: avalie a expressão que segue e desenhe seu circuito lógico. S = A • C + (B • C +A • B) Z X.(Y + Z) Y X

Manipulações Algébricas Manipulação algébrica usando axiomas e teoremas => simplificação de circuitos Redução do número de termos e/ou de literais deve resultar num circuito com menos portas (identidade 14) lei distributiva Exemplo anterior F = X Y ( Z +Z) + X Z (identidade 7) complemento F = X Y Z + X Y Z + X Z F = X Y . 1 + X Z (identidade 2) elemento identidade 2 termos 4 literais F = X Y + X Z X Y 4 portas 3 portas de 2 entradas 1 porta de 1 entrada F Z

familiaridade com axiomas e teoremas • Não existe nenhuma técnica especial para indicar qual manipulação algébrica deve ser aplicada para simplificar o circuito método de tentativas familiaridade com axiomas e teoremas X + XY = X . (1+Y) = X . 1 = X • Exemplos XY + XY = X . (Y+Y) = X . 1 = X X + XY = (X+X) . (X+Y) = 1. (X+Y) = X + Y • Outros exemplos X . (X+Y) = X.X + X.Y = X + X.Y = X.(1+Y) = X.1 = X (X+Y) . (X+Y) = X + Y. Y = X + 0 = X X . (X+Y) = X . X + X. Y = 0 + X . Y = XY • Note-se que estas 3 funções são as duais das anteriores

(A + B) (A + C) = AA + AC + AB + BC = AC + AB + BC = AC + AB Teorema do Consenso XY + XZ + YZ = XY + XZ Demonstração: fazer AND do terceiro termo com X + X =1 XY + XZ + YZ = XY + XZ + YZ ( X + X ) = XY + XZ + XYZ + XYZ = XY + XYZ + XZ + XYZ = XY(1 + Z) + XZ(1 + Y) = XY + XZ Aplicação numa simplificação (A + B) (A + C) = AA + AC + AB + BC = AC + AB + BC = AC + AB redundante segundo o teorema do consenso

5. Complemento de uma função a) Usando tabela-verdade trocar 0 1 exemplo: F = X(YZ + YZ) construindo a tabela-verdade X Y Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 YZ YZ 1 0 0 0 0 1 YZ + YZ 1 F 1 F 1 construção da função a partir da tabela-verdade OR dos termos iguais a 1 F = XYZ + XYZ + XYZ + + XYZ + XYZ + XYZ

F = X ( YZ + YZ) = X + (YZ + YZ) = X + (YZ . YZ) b) Usando DeMorgan F = X ( YZ + YZ) = X + (YZ + YZ) = X + (YZ . YZ) = X + ( Y + Z).( Y + Z) = X + YY + YZ + YZ + ZZ = X + YZ + YZ c) Tomar dual da função e complementar cada literal X YZ YZ 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 F = X(Y.Z + Y.Z) X Y Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 F 1 F’ = X + ( Y + Z) (Y + Z) F = X + (Y + Z).(Y + Z) = X + YY + YZ + YZ + ZZ = X + YZ + YZ