Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador

Conteúdos do Capítulo Programação Linear O Caso do Vendedor de Frutas Software Lindo Versão Windows e comandos Formulação do problema Solução do problema Reduced cost Sintaxe modelo Comandos opcionais File | Log output O Caso do Vendedor de Frutas Observação: Poderia redimensionar a aula? Parece que temos muito conteúdo para uma só aula.

Programação Linear Software Lindo Lindo (Linear Interactive Discrete Optimizer) é um software interativo para resolução de problemas de programação Linear Quadrática Inteira Utilizado para resolução de problemas reais de mais de 10.000 variáveis, dispõe de características que mostram os passos e quadros intermediários do método simplex

Software Lindo Versão Windows

Lindo Comandos Comandos Operadores MAX - Inicia um problema de maximização MIN - Inicia um problema de minimização END - Termina a entrada de um problema Operadores Menor < Maior > Menor ou igual <= Maior ou igual >=

Lindo Formulação de Problema A seguinte entrada é uma formulação válida de uma problema , 12 5 3 10 4 s.t. 2 ³ < + y x Max END 12 5y 3x 10 3y 4x s.t. 2x Max < +

Lindo Formulação de Problema Solve Se a sintaxe não estiver correta, a seguinte mensagem aparecerá: An error occured during compilation on line: n

Lindo Solução do Problema Se nenhum erro ocorrer durante a compilação, a tela ao lado aparecerá. Se a análise de sensibilidade for desejada responda sim

Lindo Solução do Problema Quando o problema estiver resolvido, uma janela denominada Reports Window ou janela de relatórios aparecerá automaticamente. Essa janela de relatórios é o lugar onde todos os resultados serão lançados. Se dois problemas forem resolvidos e houver espaço na janela, suas resoluções aparecerão uma seguida da outra Para se examinar essa janela basta clicar no menu Windows|Reports Windows (ver slide a seguir)

Lindo Solução do Problema

Lindo Solução do Problema Valor Ótimo da Função- Objetivo Valor das Variáveis Originais Valor das Variáveis de Folga ou Excesso

Solução do Problema Reduced Cost Existem duas interpretações para o Reduced Cost: A quantidade que o coeficiente da função objetiva de uma variável original deve melhorar antes desta variável se tornar básica. A quantidade de penalização deverá ser paga se quisermos tornar uma variável básica

Solução do Problema Reduced Cost Existem duas interpretações para os Dual Prices: A quantidade pela qual a função objetiva será melhorada dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso

Lindo Sintaxe Modelo A função objetivo deve sempre aparecer no começo do modelo e deve ser iniciada pelo comando MAX ou MIN. O fim da função objetivo é definido através de uma das seguintes expressões: SUBJECT TO S.T. ST

Lindo Sintaxe Modelo O final das restrições é determinada pelo comando END. O Comando END só é obrigatório se após as restrições aparecerem comandos do tipo GIN ou INT discutidos mais tarde O nome de uma variável no LINDO pode conter até 8 caracteres Começar por uma letra Não conter um dos seguintes caracteres: ! )+ - = < >

Lindo Sintaxe Modelo Opcionalmente podemos nomear as restrições de um modelo. O nome das restrições seguem as mesmas convenções dos nomes das variáveis Para nomear uma restrição, inclua o nome, um parêntese, e a própria restrição em seguida Exemplo: NOME) 2x + 4y <= 10

Lindo Sintaxe Modelo O LINDO não aceita parêntesis ( ) como indicadores de preferência de ordem de precedência. Todas as operações são executadas da esquerda para a direita. Somente constantes (não variáveis) são permitidas do lado direito das restrições. Somente variáveis e seus coeficientes (não constantes) podem ser colocados do lado esquerdo das restrições.

Lindo Comandos Opcionais Os comandos adicionais abaixo são colocados após o comando END ao final das restrições. FREE <Variável> - Remove os limites de não negatividade imposta a todas as variáveis por default. GIN <Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira geral. INT <Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira binária.

Lindo File|Log Output Esse comando serve para se criar um arquivo contendo todos os resultados colocados na tela de resultados. O comando é do tipo liga/desliga, isto é, a primeira vez, abre um arquivo (ativa o comando) e a segunda fecha este arquivo. Um símbolo de check é colocado ao lado do menu do comando enquanto este estiver ativado

O Caso do Vendedor de Frutas Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar pelo menos 200 caixas de laranja e pelo menos 100 caixas de pêssegos e no máximo 200 caixas de tangerinas O vendedor obtêm um lucro por caixa de 20, 10 e 30 reais para laranjas, pêssegos e tangerina, respectivamente. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo?

O Caso do Vendedor de Frutas Hipóteses Tudo o que o vendedor levar será vendido. Nada estragará no caminho Função-objetivo Maximizar o lucro Max 20x1 + 10x2 + 30x3

O Caso do Vendedor de Frutas Restrições de venda Laranjas: x1 > 200 Pêssegos: x2 > 100 Tangerinas: x3 < 200 Restrição de Transporte x1 + x2 + x3 < 800

O Caso do Vendedor de Frutas , 200 100 800 s.r. 30 10 20 3 2 1 ³ £ + x Max Este problema está na forma não padrão. Resolveremos usando o Lindo.

O Caso do Vendedor de Frutas Resolvendo Usando o Lindo

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Teorema da Dualidade Exemplo Encontrar a solução do problema abaixo com a ajuda do Lindo.

O Problema no Lindo As três variáveis não tem restrições de sinal

A Solução do Primal

Vamos Agora usar o Lindo para Obter a Solução do Dual As duas primeiras restrições do Primal são igualdades

Solução do Dual A função-objetivo do Dual assume na solução ótima o mesmo valor da função-objetiva do Primal Observação: Propor atividade de fixação e propor leitura básica e complementar.