GEOMETRIA ANALÍTICA

Definição A Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas. Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou inequações.

Aplicações Engenharia Tecnologia 3D GPS Medicina

Conceitos Preliminares

Plano cartesiano eixo das ordenadas Origem eixo das abscissas y 2º quadrante 1º quadrante O (0, 0) x Origem eixo das abscissas 3º quadrante 4º quadrante

Coordenadas no plano P(3, 4) Em geral: P(x, y) 3 é a abscissa de P; 4 é a ordenada de P; 3 e 4 são as coordenadas de P; O 3 x Em geral: P(x, y)

Sinais no plano y + + x = 0 y = 0 + – x – + O( 0, 0) – –

Bissetrizes no plano y 2ª bissetriz 1ª bissetriz y = x y = –x x

Distância entre dois pontos no plano

Obter a distância entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano xOy. Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC. yA (AB)2 = (BC)2 + (AC)2 B C yB (AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2 x xA xB BC = |xB – xA| AC = |yB – yA|

Exemplo 1 Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(2, 0), B(–2, –3) e C(–1, 4). y C 4 A –2 2 x –3 B

Exemplo 2 Determinar o ponto da 2.ª bissetriz que é eqüidistante de A(1, 2) e B(–4, –3). y P(k,–k) A 2 Se P é eqüidistante de A e B, deve ser –4 x 1 PA = PB –1 B

Ponto médio de um segmento

Na reta real, marcamos os pontos A(–2) e B(8) Na reta real, marcamos os pontos A(–2) e B(8). Se M(k) é ponto médio do segmento AB, quanto vale k? A M B –2 k 8 Se M é ponto médio, AM = MB, logo k – (–2) = 8 – k ⇒ k + 2 = 8 – k ⇒ 2k = 6 ⇒ k = 3 ⇒ M(3)

Caso geral. Na figura a seguir, M(xM) é ponto médio do segmento de extremos A(xA) e B(xB). A M B xA xM xB M é ponto médio de AB ⇒ AM = MB xM – xA = xB – xM ⇒ 2 xM = xA + xB xM = xA + xB 2 ⇒

Quando o segmento AB está contido no plano xOy, o raciocínio é semelhante. Se M é ponto médio de AB, A yA No eixo x, xM é ponto médio do segmento de extremos xA e xB. No eixo y, yM é ponto médio do segmento de etremos yA e yB. M yM B yB x xA xM xB xM = xA + xB 2 yM = yA + yB e

Exemplo 1 Achar o ponto médio do segmento de extremos A(5, –4) e B(–3, 8). 5 + (–3) xM = = 1 2 ⇒ M( 1, 2) –4 + 8 yM = = 2 2

Exemplo 2 Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3). R(a, b) Q(–2, 3) P(1, –1) a + 1 –2 = ⇒ a + 1 = – 4 ⇒ a = – 5 2 ⇒ R (–5, 7) b – 1 3 = ⇒ b – 1 = 6 ⇒ b = 7 2

Exemplo 3 Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razão AP PB 2 5 = AP 2 B(8, 17) = PB 5 xP – xA 2 a – 1 2 ⇒ = ⇒ = xB – xP 5 8 – a 5 P(a, b) ⇒ 5(a – 1) = 2(8 – a) ⇒ 5a – 5 = 16 – 2a ⇒ 7a = 21 ⇒ a = 3 A(1, 3)

Exemplo 4 Obter o ponto P que divide o segmento AB com A(1, 3) e B(8, 17) na razão AP PB 2 5 = AP 2 B(8, 17) = PB 5 yP – yA 2 b – 3 2 ⇒ = ⇒ = yB – yP 5 17 – b 5 P(a, b) ⇒ 5(b – 3) = 2(17 – b) ⇒ 5b – 15 = 34 – 2b ⇒ 7b = 49 A(1, 3) ⇒ b = 7 P(3, 7)

Área de um triângulo

Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. x y 4 1 A B C 2 6 3 5 Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices?

Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3) y AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16 P C N 5 ② ① AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4 B 3 AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2 ③ A M 1 AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4 2 4 6 x AT = 16 – (4 + 2 + 4) AT = 6

Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. y 6 3 1 6 3 P C N 5 4 5 1 4 5 ② ① B 3 –12 –10 –6 +6 +4 +30 ③ A M 1 D = – 28 + 40 = 12 2 4 6 x |D| |12| Área = = = 6 2 2

Área de um triângulo Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo, podemos calcular sua área assim: Calculamos o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices. xA yA 1 xB yB xC yC D = A área A do triângulo é metade do módulo desse determinante. A = |D| 2